简谐运动中的能量

物理· 18.2 Energy in oscillations· 15 分钟阅读

1. 无阻尼简谐运动中的能量转换★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

无阻尼简谐运动的总机械能

对于无阻尼简谐运动，动能（KE）与势能（PE）之和恒定，因为能量仅在两种形式间转换，不会损失。

例:

在水平弹簧-质量系统中，最大位移处所有能量都是弹性势能，位移为零处所有能量都是动能。

任何无阻尼振动系统中，能量不断在动能（来自物体的运动）和势能（弹簧系统为弹性势能，单摆为重力势能）之间转换。最大位移处速度为零，因此动能为零，势能最大；平衡位置（x=0）处速度最大，因此动能最大，势能为零。

📐 例题

一个质量为0.5 kg的物体做简谐运动，振幅为0.2 m，角频率为4 rad s⁻¹。求该系统的最大势能。

1
最大势能出现在最大位移处，等于系统的总能量。简谐运动总能量的公式为：
2
$E_{total} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
3
代入给定的质量、角频率和振幅数值：
4
$E_{max(PE)} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (4)^2 \times (0.2)^2$
5
计算最终结果：
6
$E_{max(PE)} = 0.16 \text{ J}$

Exam tip:

请记住：无阻尼简谐运动中最大动能 = 最大势能 = 总能量。这个关系可以在计算中节省时间。

2. 任意位移处的能量★★★☆☆⏱ 5 min

我们可以从简谐运动的速度关系 $v = ω A^{2} - x^{2}$ 出发，推导平衡位置外任意位移 $x$ 处动能和势能的通用公式。

🔬 推导

目标:

推导位移 $x$ 处的动能和势能

起点:

动能公式： $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ ，速度平方： $v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$

1
将 $v^{2}$ 代入动能公式：
2
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
3
总能量为 $E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$ ，因此 $P E = E - K E$ ：
4
$PE = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 (A^2 - x^2)$
5
化简表达式：
6
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

结果:

对于任意位移 $x$ ，动能是 $K E = \frac{1}{2} m ω^{2} (A^{2} - x^{2})$ ，势能是 $P E = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ 。

📐 例题

沿用前一个例题的简谐运动系统（ $m = 0.5$ kg， $ω = 4$ rad s⁻¹， $A = 0.2$ m），计算 $x = 0.1$ m处的动能和势能。

1
先用推导得到的势能公式计算势能：
2
$PE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 \times (0.1)^2 = 0.04 \text{ J}$
3
总能量为0.16 J，因此用总能量减去势能得到动能：
4
$KE = E_{total} - PE = 0.16 - 0.04 = 0.12 \text{ J}$
5
用动能公式验证结果：
6
$KE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 \times (0.2^2 - 0.1^2) = 0.12 \text{ J}$

3. 能量-位移图像★★☆☆☆⏱ 4 min

CIE考试经常考察能量-位移图像的识别和绘制，图像形状可以直接从我们上述推导的公式得到。

物理量	图像形状	$x = 0$ 处的值	$x = \pm A$ 处的值
动能	开口向下的抛物线	$Max = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$	零
势能	开口向上的抛物线	零	$Max = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$
总能量	水平线	Constant $\frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$	Constant $\frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$

📐 例题

绘制振幅为 $A$ 的简谐运动的动能-位移图像，并标注所有关键点。

1
动能在平衡位置（ $x = 0$ ）处最大，等于总能量 $E$ 。在图上标记点 $(0, E)$ 。
2
最大位移处动能为零，因此标记点 $(- A, 0)$ 和 $(+ A, 0)$ 。
3
由于动能与 $A^{2} - x^{2}$ 相关，这是二次关系。用一条光滑对称的开口向下抛物线连接这些点。

Exam tip:

在CIE考试中绘制图像时，务必标注坐标轴、截距和最大/最小点才能拿到满分。

4. 能量与阻尼★★★☆☆⏱ 5 min

当阻力将振动系统的能量耗散到环境中时，就会产生阻尼。这会导致振幅（和总能量）随时间减小。

📘 定义

阻尼

由于外部阻力作用，振动系统能量损失，导致振幅随时间减小的过程。

弱阻尼：振幅随时间逐渐减小，周期几乎保持不变，总能量指数衰减。
临界阻尼：系统在不超调的情况下以最短时间回到平衡位置，不会发生振动。
强阻尼：系统回到平衡位置的速度比临界阻尼更慢，不会发生持续振动。

✓ 快速检测

测试你的理解：

对于弱阻尼简谐运动系统，下列哪个物理量随时间减小？
- A)
  周期
- B)
  总能量
- C)
  角频率
- D)
  原振幅处的最大加速度
显示答案
B —
正确。能量不断因阻力耗散，因此总能量和振幅减小。弱阻尼的周期和角频率几乎不变。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为简谐运动中势能在平衡位置最大

原因:

这颠倒了正确关系：平衡位置速度最大，因此动能在那里最大，不是势能。

正确做法:

记住势能在最大位移处（ $x = \pm A$ ）最大，在平衡位置（ $x = 0$ ）为零。

错误做法:

假设总能量与振幅成正比

原因:

总能量满足 $E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$ ，因此总能量与振幅的平方成正比。

正确做法:

如果振幅减半，总能量会减小到原来的1/4，而不是1/2。

错误做法:

将动能-位移x图画成线性V形

原因:

动能是位移的二次函数，因此图像是光滑抛物线，不是线性V形。

正确做法:

动能-位移图始终画开口向下的抛物线。

错误做法:

认为所有阻尼都会立即停止振动

原因:

只有强阻尼和临界阻尼不会产生持续振动。弱阻尼允许振幅逐渐减小的持续振动。

正确做法:

记住：弱阻尼：振幅缓慢减小，振动持续；临界/强阻尼：无振动。

6. 速查表

概念	公式	核心要点
总能量（无阻尼）	$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = K E_{ma x} = P E_{ma x}$	无阻尼简谐运动中恒定
位移x处的动能	$K E = \frac{1}{2} m ω^{2} (A^{2} - x^{2})$	x = 0处最大，x = ±A处为零
位移x处的势能	$P E = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$	x = 0处为零，x = ±A处最大
能量与振幅	$E \propto A^{2}$	能量与振幅平方成正比
弱阻尼	$E \propto e^{- γ t}$ , amplitude $\propto e^{- γ t /2}$	周期近似保持恒定

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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syllabusCIE 9702 2025-2027 官方大纲振动单元的官方大纲参考

下一步

掌握简谐运动中的能量对于分析更复杂的振动系统（包括阻尼运动、受迫振动和共振）至关重要，这些都是CIE A-Level物理的常考内容。本概念还衔接了之前的功与能主题，也和后续单元的波能相关。考试题目经常将能量计算与简谐运动运动学结合，因此扎实掌握本小节有助于你在多问结构化题目中拿到满分。