# 简谐运动中的能量

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-energy-in-shm/

本小节探讨CIE A-Level物理中简谐运动（SHM）内动能与势能之间的能量转换，涵盖总能量守恒、核心公式以及阻尼系统中的能量变化。

**先修:** [简谐运动的基本定义和公式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-introduction-to-shm/); [动能与势能的概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u05-work-energy-power/)

## 学习目标

- 描述无阻尼简谐运动中动能和势能的相互转换
- 推导并运用简谐运动中总能量、动能和势能的公式
- 解读简谐运动的能量-位移图像
- 解释阻尼振动系统中的能量变化

## 无阻尼简谐运动中的能量转换

**无阻尼简谐运动的总机械能** — 对于无阻尼简谐运动，动能（KE）与势能（PE）之和恒定，因为能量仅在两种形式间转换，不会损失。

*例:* 在水平弹簧-质量系统中，最大位移处所有能量都是弹性势能，位移为零处所有能量都是动能。

任何无阻尼振动系统中，能量不断在动能（来自物体的运动）和势能（弹簧系统为弹性势能，单摆为重力势能）之间转换。最大位移处速度为零，因此动能为零，势能最大；平衡位置（x=0）处速度最大，因此动能最大，势能为零。

**例题:** 一个质量为0.5 kg的物体做简谐运动，振幅为0.2 m，角频率为4 rad s⁻¹。求该系统的最大势能。

1. 最大势能出现在最大位移处，等于系统的总能量。简谐运动总能量的公式为：
2. $$E_{total} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$$
3. 代入给定的质量、角频率和振幅数值：
4. $$E_{max(PE)} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (4)^2 \times (0.2)^2$$
5. 计算最终结果：
6. $$E_{max(PE)} = 0.16 \text{ J}$$

> **考试提示:** 请记住：无阻尼简谐运动中最大动能 = 最大势能 = 总能量。这个关系可以在计算中节省时间。

## 任意位移处的能量

我们可以从简谐运动的速度关系$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$出发，推导平衡位置外任意位移$x$处动能和势能的通用公式。

**推导:** 推导位移$x$处的动能和势能

*起点:* 动能公式：$KE = \frac{1}{2}mv^2$，速度平方：$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$

1. 将$v^2$代入动能公式：
2. $$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$$
3. 总能量为$E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$，因此$PE = E - KE$：
4. $$PE = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 (A^2 - x^2)$$
5. 化简表达式：
6. $$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$$

*结论:* 对于任意位移$x$，动能是$KE = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$，势能是$PE = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$。

**例题:** 沿用前一个例题的简谐运动系统（$m=0.5$ kg，$\omega=4$ rad s⁻¹，$A=0.2$ m），计算$x=0.1$ m处的动能和势能。

1. 先用推导得到的势能公式计算势能：
2. $$PE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 \times (0.1)^2 = 0.04 \text{ J}$$
3. 总能量为0.16 J，因此用总能量减去势能得到动能：
4. $$KE = E_{total} - PE = 0.16 - 0.04 = 0.12 \text{ J}$$
5. 用动能公式验证结果：
6. $$KE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 \times (0.2^2 - 0.1^2) = 0.12 \text{ J}$$

> **info**
>
> 无论势能是弹性势能还是重力势能，所有简谐运动系统中势能都与$x^2$成正比。

## 能量-位移图像

CIE考试经常考察能量-位移图像的识别和绘制，图像形状可以直接从我们上述推导的公式得到。

| 物理量 | 图像形状 | $x=0$处的值 | $x=\pm A$处的值 |
| --- | --- | --- | --- |
| 动能 | 开口向下的抛物线 | $\text{Max} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ | 零 |
| 势能 | 开口向上的抛物线 | 零 | $\text{Max} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ |
| 总能量 | 水平线 | Constant $\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ | Constant $\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ |

**例题:** 绘制振幅为$A$的简谐运动的动能-位移图像，并标注所有关键点。

1. 动能在平衡位置（$x=0$）处最大，等于总能量$E$。在图上标记点$(0, E)$。
2. 最大位移处动能为零，因此标记点$(-A, 0)$和$(+A, 0)$。
3. 由于动能与$A^2 - x^2$相关，这是二次关系。用一条光滑对称的开口向下抛物线连接这些点。

> **考试提示:** 在CIE考试中绘制图像时，务必标注坐标轴、截距和最大/最小点才能拿到满分。

## 能量与阻尼

当阻力将振动系统的能量耗散到环境中时，就会产生阻尼。这会导致振幅（和总能量）随时间减小。

**阻尼** — 由于外部阻力作用，振动系统能量损失，导致振幅随时间减小的过程。

- **弱阻尼**：振幅随时间逐渐减小，周期几乎保持不变，总能量指数衰减。
- **临界阻尼**：系统在不超调的情况下以最短时间回到平衡位置，不会发生振动。
- **强阻尼**：系统回到平衡位置的速度比临界阻尼更慢，不会发生持续振动。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 对于弱阻尼简谐运动系统，下列哪个物理量随时间减小？

   - 周期
   - 总能量
   - 角频率
   - 原振幅处的最大加速度

   *解析:* 正确。能量不断因阻力耗散，因此总能量和振幅减小。弱阻尼的周期和角频率几乎不变。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为简谐运动中势能在平衡位置最大
  - 原因: 这颠倒了正确关系：平衡位置速度最大，因此动能在那里最大，不是势能。
  - 正确做法: 记住势能在最大位移处（$x = \pm A$）最大，在平衡位置（$x=0$）为零。
- **错误做法:** 假设总能量与振幅成正比
  - 原因: 总能量满足$E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$，因此总能量与振幅的平方成正比。
  - 正确做法: 如果振幅减半，总能量会减小到原来的1/4，而不是1/2。
- **错误做法:** 将动能-位移x图画成线性V形
  - 原因: 动能是位移的二次函数，因此图像是光滑抛物线，不是线性V形。
  - 正确做法: 动能-位移图始终画开口向下的抛物线。
- **错误做法:** 认为所有阻尼都会立即停止振动
  - 原因: 只有强阻尼和临界阻尼不会产生持续振动。弱阻尼允许振幅逐渐减小的持续振动。
  - 正确做法: 记住：弱阻尼：振幅缓慢减小，振动持续；临界/强阻尼：无振动。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 核心要点 |
| --- | --- | --- |
| 总能量（无阻尼） | $E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = KE_{max} = PE_{max}$ | 无阻尼简谐运动中恒定 |
| 位移x处的动能 | $KE = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$ | x = 0处最大，x = ±A处为零 |
| 位移x处的势能 | $PE = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ | x = 0处为零，x = ±A处最大 |
| 能量与振幅 | $E \propto A^2$ | 能量与振幅平方成正比 |
| 弱阻尼 | $E \propto e^{-\gamma t}$, amplitude $\propto e^{-\gamma t/2}$ | 周期近似保持恒定 |

## 下一步

掌握简谐运动中的能量对于分析更复杂的振动系统（包括阻尼运动、受迫振动和共振）至关重要，这些都是CIE A-Level物理的常考内容。本概念还衔接了之前的功与能主题，也和后续单元的波能相关。考试题目经常将能量计算与简谐运动运动学结合，因此扎实掌握本小节有助于你在多问结构化题目中拿到满分。

- [阻尼振动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-damped-oscillations/)
- [受迫振动与共振](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-forced-oscillations-and-resonance/)
- [理想气体](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-energy-in-shm/