# 轨道运动

> A-Level 物理 · CIE 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-orbital-motion/

本子主题讲解围绕大天体做稳定轨道运动的物体的物理规律。你将学习引力如何提供所需的向心力，以及计算卫星和行星的关键轨道参数。

**先修:** [牛顿万有引力定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-newtons-law-gravitation/); [圆周运动的向心力](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u06-circular-motion/)

## 学习目标

- 推导圆轨道下轨道速度、半径和向心力的关系
- 区分不同类型的卫星轨道
- 计算卫星和行星的轨道参数
- 解释地球静止轨道的性质和用途

## 引力作为向心力

对于围绕中心质量$M$做稳定圆轨道运动的任意物体，作用在轨道物体上的唯一主要力就是引力。该力指向轨道中心，恰好提供维持匀速圆周运动所需的向心力。

**稳定圆轨道** — 两个天体之间的引力恰好等于维持轨道天体以恒定半径和速度运动所需向心力的轨道

*例:* 大多数人造通信卫星都围绕地球运行在接近完美的圆轨道上。

**例题:** 一颗质量1500 kg的卫星围绕地球以恒定半径运动。地球质量$M = 6.0 \times 10^{24} \text{ kg}$，轨道半径$r = 7.0 \times 10^6 \text{ m}$。证明引力大小约为12000 N。取$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$。

1. 写出地球和卫星之间引力的牛顿万有引力公式：

   $$F = \frac{GMm}{r^2}$$
2. 将给定数值代入方程：

   $$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0 \times 10^{24})(1500)}{(7.0 \times 10^6)^2}$$
3. 计算分子和分母得到最终力：

   $$F = \frac{6.003 \times 10^{17}}{4.9 \times 10^{13}} \approx 12250 \text{ N} \approx 12000 \text{ N}$$
4. 该引力指向地心，为轨道运动提供所需的向心力。

## 推导轨道速度和周期

**推导:** 推导圆轨道的轨道速度$v$和轨道周期$T$的表达式

*起点:* 从引力等于向心力出发

1. 对轨道质量$m$列力平衡方程：

   $$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$
2. 消去轨道天体的质量$m$并化简$r$：

   $$\frac{GM}{r} = v^2$$
3. 整理得到轨道速度$v$：

   $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
4. 将速度和周期关联：$v = \frac{2\pi r}{T}$，代入$v$：

   $$\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{GM}{r}$$
5. 整理得到圆轨道的开普勒第三定律：

   $$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$$

*结论:* 轨道速度和周期仅取决于中心天体质量$M$和轨道半径$r$，与轨道天体的质量无关。

**例题:** 计算一颗围绕火星运动、轨道半径$r = 3.4 \times 10^6 \text{ m}$的卫星的轨道速度。火星质量$M = 6.4 \times 10^{23} \text{ kg}$，$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$。

1. 使用推导得到的轨道速度关系：

   $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
2. 计算乘积$GM$：

   $$GM = (6.67 \times 10^{-11})(6.4 \times 10^{23}) = 4.2688 \times 10^{13}$$
3. 除以轨道半径：

   $$\frac{GM}{r} = \frac{4.2688 \times 10^{13}}{3.4 \times 10^6} \approx 1.2555 \times 10^7$$
4. 开平方得到最终速度：

   $$v = \sqrt{1.2555 \times 10^7} \approx 3500 \text{ m s}^{-1}$$

## 卫星轨道的类型

卫星会根据用途被放置在不同轨道。根据轨道高度和相对于赤道的倾角分类，地球观测和通信常用的两类轨道是近地轨道（LEO）和地球同步轨道。

- **近地轨道（LEO）：** 高度在地球表面上方160 km到2000 km之间，轨道周期约90分钟，用于成像和地球观测。
- **中地球轨道（MEO）：** 高度在2000 km到35786 km之间，用于GPS等导航系统。
- **地球同步轨道（GEO）：** 高度约为地球表面上方35786 km，轨道周期等于24小时。

**概念自测**

检验你的理解：

1. 当轨道半径增大时，轨道速度会怎么变化？

   - 增大
   - 减小
   - 保持不变
   - 取决于卫星质量

   *答案:* 减小

   *解析:* 根据$v = \sqrt{GM/r}$，$r$增大会使$v$减小，因此速度降低。

**例题:** 比较围绕地球运动的近地轨道卫星（$r = 7.0 \times 10^6$ m）和地球静止轨道卫星（$r = 4.2 \times 10^7$ m）的轨道速度，地球质量$M = 6.0 \times 10^{24}$ kg。

1. 计算近地轨道卫星的轨道速度：

   $$v_{LEO} = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0 \times 10^{24})}{7.0 \times 10^6}} \approx 7600 \text{ m s}^{-1}$$
2. 计算地球静止轨道卫星的轨道速度：

   $$v_{GEO} = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0 \times 10^{24})}{4.2 \times 10^7}} \approx 3100 \text{ m s}^{-1}$$
3. 结果验证了轨道越高轨道速度越低，与推导得到的关系一致。

## 地球静止轨道

**地球静止轨道** — 一种特殊的地球同步轨道，为赤道圆轨道，周期等于地球自转周期（24小时）。该轨道上的卫星始终固定在赤道同一点的上空。

*记法:* GEO

地球静止轨道非常适合通信卫星和气象卫星，因为地面天线不需要跟踪移动的卫星，可以始终指向固定的卫星位置。

**例题:** 计算地球静止轨道的半径。地球质量$M = 6.0 \times 10^{24} \text{ kg}$，$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$。

1. 将24小时的周期转换为国际单位（秒）：

   $$T = 24 \times 60 \times 60 = 86400 \text{ s}$$
2. 整理开普勒第三定律求解$r^3$：

   $$r^3 = \frac{GM T^2}{4 \pi^2}$$
3. 代入所有数值：

   $$r^3 = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0 \times 10^{24})(86400)^2}{4 \pi^2} \approx 7.54 \times 10^{22} \text{ m}^3$$
4. 开立方得到半径：

   $$r \approx 4.2 \times 10^7 \text{ m} = 42000 \text{ km}$$

> **考试提示:** CIE经常要求比较地球静止轨道和极轨道：极轨道是低高度轨道，经过两极，周期约90分钟，用于地球成像。

## 常见错误

- **错误做法:** 将地球表面上方的高度用作轨道半径$r$，而不是到地心的距离。
  - 原因: 轨道半径始终从中心天体的中心开始测量。对于近地轨道，这个误差会使结果改变约10%，对于高轨道误差更大。
  - 正确做法: 将中心天体的半径加到表面高度上，得到总轨道半径$r$。
- **错误做法:** 计算轨道速度或周期时计入轨道天体的质量。
  - 原因: 推导过程中轨道天体的质量会被消去，因此对于质量较小的轨道天体，轨道参数与它无关。
  - 正确做法: 所有轨道计算中仅使用中心天体的质量$M$。
- **错误做法:** 混淆地球静止轨道和地球同步轨道。
  - 原因: 所有地球静止轨道都是地球同步轨道，但并非所有地球同步轨道都是地球静止轨道。
  - 正确做法: 记住：地球静止轨道是赤道轨道，固定在一点上空；而地球同步轨道仅要求周期为24小时。
- **错误做法:** 将引力势能等于向心力。
  - 原因: 只有引力（而非能量）为轨道运动提供向心力。混淆力和能量会得到错误方程。
  - 正确做法: 解决轨道运动问题时，始终从引力等于向心力开始。
- **错误做法:** 使用国际单位时，忘记将轨道周期从小时转换为秒。
  - 原因: CIE的所有计算都要求使用国际单位，单位不匹配会使结果差几个数量级。
  - 正确做法: 计算前始终将时间转换为秒，距离转换为米，质量转换为千克。

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 轨道速度 | $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ | 与轨道天体质量$m$无关 |
| 轨道周期 | $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$ | 始终使用秒为T的单位 |
| 地球静止轨道周期 | $T = 86400 \text{ s}$ | 等于地球自转周期 |
| 地球静止轨道半径 | $r \approx 4.2 \times 10^7 \text{ m}$ | 从地心开始测量 |
| 典型近地轨道周期 | $T \approx 90 \text{ 分钟}$ | 考试标准值 |

## 下一步

理解轨道运动是引力物理的基础概念，它直接关联到你接下来将学习的引力势能、逃逸速度等更广泛的主题。本子主题也巩固了你之前对圆周运动的理解，并且经常出现在同时考察两个主题的综合考试题中。轨道运动题目在卷1选择题和卷2结构化试题中都非常常见，因此掌握轨道速度和开普勒第三定律的推导对考试通关至关重要。这里的概念也应用于CIE A-Level物理考试中经常出现的行星运动问题。

- [振动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-overview/)
- [简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-simple-harmonic-motion/)
- [简谐运动中的能量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-energy-in-shm/)

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