# 牛顿万有引力定律

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-newton-s-law-of-gravitation/

本模块讲解牛顿万有引力定律、引力与间距的平方反比关系，以及如何应用该定律解决CIE考试中的质点间引力计算问题。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-forces-newtons-laws/); [引力场导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-introduction-to-gravitational-fields/)

## 学习目标

- 陈述牛顿万有引力定律
- 将平方反比关系应用于引力计算
- 计算两个质点之间的引力
- 正确计算延展物体的中心间距

## 牛顿万有引力定律

**牛顿万有引力定律** — 所有物质质点都会相互吸引，引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们中心之间距离的平方成反比。

*记法:* $F$ = 引力，$m_1, m_2$ = 质量，$r$ = 间距，$G$ = 引力常数

*例:* 适用于所有质点，当$r$为中心间距时也适用于均匀球形质量

$$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$$

> **info**
>
> 引力总是吸引力，不同于静电力可以是吸引力也可以是排斥力。

**例题:** 计算两个质量分别为10 kg和20 kg、间距0.5 m的质点之间的引力。

1. 列出已知量：
2. $$m_1 = 10 \text{ kg}, \quad m_2 = 20 \text{ kg}, \quad r = 0.5 \text{ m}, \quad G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$$
3. 代入牛顿引力公式：
4. $$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(10)(20)}{(0.5)^2}$$
5. 化简并计算：
6. $$F = \frac{1.334 \times 10^{-8}}{0.25} = 5.34 \times 10^{-8} \text{ N} \approx 5.3 \times 10^{-8} \text{ N}$$

## 平方反比关系

引力遵循平方反比定律，即引力大小与$1/r^2$成正比。这种关系在场论物理中非常常见，在CIE选择题中经常考察。

**平方反比定律（引力）** — 如果两个质点之间的距离增大$k$倍，它们之间的引力会减小$k^2$倍

*例:* 距离加倍（$k=2$），引力会减小到原来的$1/4$

**例题:** 两个质点间距为$r$时引力为$F$。当间距增大到$2.5r$时，新的引力是多少？

1. 写出原引力和新引力的方程：
2. $$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}, \quad F_2 = \frac{G m_1 m_2}{(2.5r)^2}$$
3. 消去所有常量（$G, m_1, m_2$）：
4. $$\frac{F_2}{F} = \frac{r^2}{(2.5r)^2} = \frac{1}{2.5^2} = \frac{1}{6.25} = 0.16$$
5. 最终结果：
6. $$F_2 = 0.16F$$

> **考试提示**
>
> 使用反比关系时，一定要对距离比平方。常见错误是忘记平方比例。

## 延展球形质量的应用

对于行星、恒星这类均匀球形物体，我们可以将其全部质量视为集中在球心，因此牛顿引力定律可以直接应用。核心规则是$r$必须使用**中心间距**，而不是两个物体表面之间的距离。

> **warning**
>
> 如果题目给出卫星在行星表面上方的高度，你必须加上行星半径才能得到正确的中心间距。

**例题:** 计算地球（质量$5.97 \times 10^{24}$ kg，半径6370 km）与一颗在地球表面上方200 km轨道运行的1000 kg卫星之间的引力。

1. 计算中心间距：
2. $$r = 6370 \text{ km} + 200 \text{ km} = 6570 \text{ km} = 6.57 \times 10^6 \text{ m}$$
3. 将数值代入公式：
4. $$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(1000)}{(6.57 \times 10^6)^2}$$
5. 分别计算分子和分母：
6. $$\text{Numerator} = 3.98 \times 10^{17}, \quad \text{Denominator} = 4.32 \times 10^{13}$$
7. 最终结果：
8. $$F \approx 9.2 \times 10^3 \text{ N}$$

**概念自测**

测试你对距离测量的理解：

1. 对于一个放在地球表面的5 kg物体，你应该使用什么数值的$r$？

   - A: 地球半径（地球中心到物体中心的距离）
   - B: 仅5 kg物体的半径
   - C: 物体表面与地球表面之间的距离

   *解析:* 正确！地球可等效为位于其中心的质点，因此$r$等于地球半径。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用表面间距而非中心间距
  - 原因: 大多数题目给出的是相对于表面的轨道高度，学生忘记加上行星半径
  - 正确做法: 始终将行星/天体的半径加到表面高度上，得到中心间距
- **错误做法:** 给$G$使用正指数（用$6.67 \times 10^{11}$代替$6.67 \times 10^{-11}$）
  - 原因: 输入计算器时很容易漏掉负指数
  - 正确做法: 在计算器输入$G$后，务必检查指数是否正确
- **错误做法:** 认为大质量物体对小质量物体的引力更大
  - 原因: 学生将力与加速度混淆，忘记了牛顿第三定律
  - 正确做法: 引力是一对作用力与反作用力：两个物体受到的引力大小相等
- **错误做法:** 对公式中质量的乘积平方
  - 原因: 学生将平方反比项和质量乘积项混淆
  - 正确做法: 只有间距$r$需要平方，公式为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$

## 速查表

| 概念 | 公式/数值 | 考试核心提示 |
| --- | --- | --- |
| 牛顿引力定律 | $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ | 适用于质点/均匀球体 |
| 引力常数 $G$ | $6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ | 始终使用负指数 |
| 平方反比比例关系 | $F_2 = F_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ | 对距离比平方 |
| 中心间距 | $r = R_{\text{planet}} + h_{\text{orbit}}$ | 将行星半径加到表面高度上 |

## 下一步

牛顿万有引力定律是CIE A-Level物理引力场所有后续知识点的基础概念。引力公式用于推导行星周围的引力场强度、引力势能，以及行星和卫星稳定轨道的规则。理解平方反比关系对于解决重力加速度随高度变化和逃逸速度的问题也至关重要。掌握这个子主题能让你自信应对考试中所有更高阶的引力问题。

- [引力场强度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-gravitational-field-strength/)
- [引力势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-gravitational-potential/)
- [卫星轨道运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-orbital-motion/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-newton-s-law-of-gravitation/