引力场强度

CIE A-Level 物理· 第17单元：引力场· 25 分钟阅读

1. 引力场强度的定义★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

引力场强度

g

放置在场中某点的无穷小试探物体，单位质量受到的引力。

例:

地球表面处， $g \approx 9.81$ N kg⁻¹。

引力场强度是矢量：其方向始终指向产生场的质量，与引力吸引力的方向一致。重新整理定义可得，场强为 $g$ 的点处，质量 $m$ 的物体受到的引力为： $F = m g$ 。

📐 例题

一个质量为3.0 kg的试探物体在月球表面上方某点受到10.5 N的引力，计算该点的引力场强度。

1
从引力场强度的定义出发：
2
$g = \frac{F}{m}$
3
代入给定的力 $F = 10.5$ N和质量 $m = 3.0$ kg：
4
$g = \frac{10.5}{3.0} = 3.5 \text{ N kg}^{-1}$
5
$g$ 的方向指向月球中心。

2. 径向场中的引力场强度★★★☆☆⏱ 10 min

点质量或均匀球形质量（如行星）会产生径向引力场，场强大小取决于到质量中心的距离。我们可以直接从牛顿万有引力定律推导出 $g$ 的公式：

🔬 推导

目标:

推导径向场中 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$

起点:

牛顿定律：源质量 $M$ 和距离 $M$ 中心 $r$ 处的试探质量 $m$ 之间的力为 $F = \frac{GM m}{r ^{2}}$

1
根据定义，引力场强度是单位试探质量受到的力：
2
$g = \frac{F}{m} = \frac{1}{m} \left( \frac{GMm}{r^2} \right)$
3
试探质量 $m$ 从分子分母约去，得到：

结果:

g = \frac{GM}{r^2} where $r \geq R$ (R = radius of the spherical source mass).

📐 例题

计算地球表面上方1000 km高度处的g。已知地球质量 = $5.97 \times 1 0^{24}$ kg，半径 = 6370 km， $G = 6.67 \times 1 0^{- 11}$ N m² kg⁻²。

1
计算到地心的总距离（注意r不是距离地表的高度）：
2
$r = R_{\text{Earth}} + h = 6370 + 1000 = 7370 \text{ km} = 7.37 \times 10^6 \text{ m}$
3
代入径向场公式：
4
$g = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{(7.37 \times 10^6)^2} \approx 7.3 \text{ N kg}^{-1}$

3. 均匀引力场★★☆☆☆⏱ 7 min

📘 定义

均匀引力场

空间中所有点的引力场强度大小和方向都相同的区域。

例:

大行星表面附近的引力场近似为均匀场。

当我们位于类似地球的大行星表面附近时， $r$ （到地心的距离）的变化量相对于 $r$ 本身非常小。这意味着 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ 近似恒定，径向场线近似平行且等间距，形成均匀场。

📐 例题

一名75 kg的宇航员站在火星表面，火星处 $g = 3.7$ N kg⁻¹。计算宇航员的体重。

1
体重就是引力，因此使用 $F = m g$ ：
2
$F = 75 \times 3.7 = 277.5 \approx 280 \text{ N}$
3
宇航员的体重约为280 N，相比在地球上约为740 N。

4. 常见陷阱

错误做法:

将行星表面上方的高度直接用作 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ 中的 $r$

原因:

$r$ 的定义是到产生场的质量中心的距离，不是到表面的距离

正确做法:

始终将行星半径加上地表上方高度得到正确的 $r$ 值

错误做法:

叠加两个质量的场强时将 $g$ 当作标量处理

原因:

$g$ 是矢量，叠加时必须考虑方向

正确做法:

绘制矢量图并叠加分量，如果场强方向相反则减去大小

错误做法:

只使用 $m s^{- 2}$ 作为引力场强度的单位

原因:

CIE考官要求你使用基于定义的单位 $N kg^{- 1}$ 表示场强

正确做法:

回答引力场强度相关问题时使用 $N kg^{- 1}$ ，尽管它等价于 $m s^{- 2}$

错误做法:

将 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ 应用于行星内部的点

原因:

平方反比定律只适用于产生场的质量外部的点

正确做法:

对于均匀密度行星， $g$ 从表面到中心线性减小，在中心处为零

5. 速查表

概念	公式	要点
$g$ 的定义	$g = \frac{F}{m}$	单位试探质量受到的力，矢量方向指向源
径向场 $g$	$g = \frac{GM}{r ^{2}}$	$r$ = 到 $M$ 中心的距离，适用于 $r \geq R$
平方反比定律	$g \propto \frac{1}{r ^{2}}$	$r$ 加倍， $g$ 变为原来的1/4
均匀场 $g$	$g = constant$	行星表面附近，地球上约为9.81 N kg⁻¹
单位	$1 N kg^{- 1} \equiv 1 m s^{- 2}$	N kg⁻¹是场强基于定义的单位

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 2
计算地球表面上方某高度处的g
2022 · 1
比较两颗行星的g
2021 · 2
推导g = GM/r²

深入阅读

syllabusCIE 9702 大纲官方大纲参考

下一步

引力场强度是引力场所有后续主题的核心基础。理解 $g$ 随距离的变化规律能让你计算引力势和引力势能，用于解决涉及卫星轨道、行星运动和逃逸速度的问题。这些主题在CIE A-Level物理考试中占比很高，因此先掌握场强对考试成功至关重要。你可以通过以下子主题继续拓展知识：