# 引力场强度

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-gravitational-field-strength/

本子主题涵盖引力场强度的定义、其在径向场和均匀场中的计算，以及它与引力的关系，是轨道运动和引力势主题的核心基础。

**先修:** [牛顿万有引力定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-newtons-law-gravitation/); [力、质量和加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u02-forces-acceleration/)

## 学习目标

- 定义引力场强度并说明其单位
- 计算均匀场和径向场中的引力场强度
- 从牛顿万有引力定律推导径向场中g的表达式
- 解释g的单位N kg⁻¹和m s⁻²的等价性

## 引力场强度的定义

**引力场强度** — 放置在场中某点的无穷小试探物体，单位质量受到的引力。

*记法:* g

*例:* 地球表面处，$g \approx 9.81$ N kg⁻¹。

引力场强度是矢量：其方向始终指向产生场的质量，与引力吸引力的方向一致。重新整理定义可得，场强为$g$的点处，质量$m$的物体受到的引力为：$F = mg$。

**例题:** 一个质量为3.0 kg的试探物体在月球表面上方某点受到10.5 N的引力，计算该点的引力场强度。

1. 从引力场强度的定义出发：
2. $$g = \frac{F}{m}$$
3. 代入给定的力$F = 10.5$ N和质量$m = 3.0$ kg：
4. $$g = \frac{10.5}{3.0} = 3.5 \text{ N kg}^{-1}$$
5. $g$的方向指向月球中心。

## 径向场中的引力场强度

点质量或均匀球形质量（如行星）会产生径向引力场，场强大小取决于到质量中心的距离。我们可以直接从牛顿万有引力定律推导出$g$的公式：

**推导:** 推导径向场中$g = \frac{GM}{r^2}$

*起点:* 牛顿定律：源质量$M$和距离$M$中心$r$处的试探质量$m$之间的力为$F = \frac{GMm}{r^2}$

1. 根据定义，引力场强度是单位试探质量受到的力：
2. $$g = \frac{F}{m} = \frac{1}{m} \left( \frac{GMm}{r^2} \right)$$
3. 试探质量$m$从分子分母约去，得到：

*结论:* g = \frac{GM}{r^2} where $r \geq R$ (R = radius of the spherical source mass).

**例题:** 计算地球表面上方1000 km高度处的g。已知地球质量 = $5.97 \times 10^{24}$ kg，半径 = 6370 km，$G = 6.67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻²。

1. 计算到地心的总距离（注意r不是距离地表的高度）：
2. $$r = R_{\text{Earth}} + h = 6370 + 1000 = 7370 \text{ km} = 7.37 \times 10^6 \text{ m}$$
3. 代入径向场公式：
4. $$g = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{(7.37 \times 10^6)^2} \approx 7.3 \text{ N kg}^{-1}$$

> **tip**
>
> 在径向场中，$g \propto \frac{1}{r^2}$。如果到中心的距离加倍，g会减小到原来的四分之一。

## 均匀引力场

**均匀引力场** — 空间中所有点的引力场强度大小和方向都相同的区域。

*例:* 大行星表面附近的引力场近似为均匀场。

当我们位于类似地球的大行星表面附近时，$r$（到地心的距离）的变化量相对于$r$本身非常小。这意味着$g = \frac{GM}{r^2}$近似恒定，径向场线近似平行且等间距，形成均匀场。

> **info**
>
> 均匀引力场中自由落体加速度等于g。这证明单位N kg⁻¹和m s⁻²是等价的：$1$ N kg⁻¹ = $1$ (kg m s⁻²) kg⁻¹ = $1$ m s⁻²。

**例题:** 一名75 kg的宇航员站在火星表面，火星处$g = 3.7$ N kg⁻¹。计算宇航员的体重。

1. 体重就是引力，因此使用$F = mg$：
2. $$F = 75 \times 3.7 = 277.5 \approx 280 \text{ N}$$
3. 宇航员的体重约为280 N，相比在地球上约为740 N。

## 常见错误

- **错误做法:** 将行星表面上方的高度直接用作$g = \frac{GM}{r^2}$中的$r$
  - 原因: $r$的定义是到产生场的质量中心的距离，不是到表面的距离
  - 正确做法: 始终将行星半径加上地表上方高度得到正确的$r$值
- **错误做法:** 叠加两个质量的场强时将$g$当作标量处理
  - 原因: $g$是矢量，叠加时必须考虑方向
  - 正确做法: 绘制矢量图并叠加分量，如果场强方向相反则减去大小
- **错误做法:** 只使用$\text{m s}^{-2}$作为引力场强度的单位
  - 原因: CIE考官要求你使用基于定义的单位$\text{N kg}^{-1}$表示场强
  - 正确做法: 回答引力场强度相关问题时使用$\text{N kg}^{-1}$，尽管它等价于$\text{m s}^{-2}$
- **错误做法:** 将$g = \frac{GM}{r^2}$应用于行星内部的点
  - 原因: 平方反比定律只适用于产生场的质量外部的点
  - 正确做法: 对于均匀密度行星，$g$从表面到中心线性减小，在中心处为零

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| $g$的定义 | $g = \frac{F}{m}$ | 单位试探质量受到的力，矢量方向指向源 |
| 径向场$g$ | $g = \frac{GM}{r^2}$ | $r$ = 到$M$中心的距离，适用于$r \geq R$ |
| 平方反比定律 | $g \propto \frac{1}{r^2}$ | $r$加倍，$g$变为原来的1/4 |
| 均匀场$g$ | $g = \text{constant}$ | 行星表面附近，地球上约为9.81 N kg⁻¹ |
| 单位 | $1 \text{ N kg}^{-1} \equiv 1 \text{ m s}^{-2}$ | N kg⁻¹是场强基于定义的单位 |

## 下一步

引力场强度是引力场所有后续主题的核心基础。理解$g$随距离的变化规律能让你计算引力势和引力势能，用于解决涉及卫星轨道、行星运动和逃逸速度的问题。这些主题在CIE A-Level物理考试中占比很高，因此先掌握场强对考试成功至关重要。你可以通过以下子主题继续拓展知识：

- [引力势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-gravitational-potential/)
- [卫星轨道运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-orbital-motion/)
- [振动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-overview/)

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