# 向心力

> CIE A-Level 物理学 · 第16单元：圆周运动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-centripetal-force/

本亚主题讲解了向心力的定义、大小计算方法，如何在常见考题场景中识别其物理来源，以及解决匀速圆周运动相关问题。

**先修:** [匀速圆周运动基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-uniform-circular-motion/); [牛顿第二运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u04-newtons-laws-of-motion/)

## 学习目标

- 定义向心力并说明其正确方向
- 推导并使用向心力公式的两种常见形式
- 在不同物理场景中识别向心力的来源
- 解决涉及匀速圆周运动的典型考题

## 向心力的定义与核心性质

**向心力** — 作用在做圆周运动物体上的合外力，方向始终垂直于物体的瞬时速度，指向圆心。

*记法:* $F_c$

*例:* 拴住物体旋转的绳子的拉力提供向心力。

由于向心力始终与运动方向垂直，因此它不对物体做功。对于匀速圆周运动，这意味着物体的速率保持不变，只有速度方向改变，从而维持圆周运动。

> **常见误区**
>
> 在惯性（静止）参考系中，不存在向外推物体的'离心力'。你在汽车转弯时感受到的向外'推力'只是你的惯性抵抗方向改变的表现。

**例题:** 一个质量为2.0 kg的物体被绳子拴在固定中心点，在水平面上以恒定速率做圆周运动。说明作用在物体上的向心力方向，并指出向心力的来源。

1. 根据定义，向心力始终指向圆周路径的圆心。
2. 物体受到的唯一水平力是绳子的拉力，拉力将物体拉向固定中心点。
3. 答案：向心力指向固定中心点，完全由绳子的拉力提供。

## 向心力公式

**推导:** 从基本原理推导向心力的大小

*起点:* 牛顿第二定律 $F_{net} = ma$ 和向心加速度公式 $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

1. 向心力是指向圆心的合外力，因此将 $a_c$ 代入牛顿第二定律：
2. $$F_c = m a_c = \frac{m v^2}{r}$$
3. 要得到以角速度表示的形式，代入 $v = \omega r$：
4. $$F_c = \frac{m (\omega r)^2}{r} = m \omega^2 r$$

*结论:* 我们得到了向心力公式的两种等价形式，根据已知的是线速度 $v$ 还是角速度 $\omega$ 选择使用。

**例题:** 一辆质量1500 kg的汽车以12 m/s的恒定速率在半径为40 m的水平圆形弯道上行驶。计算维持汽车在弯道上行驶所需的向心力大小。

1. 列出已知量：$m = 1500 \ \text{kg}$, $r = 40 \ \text{m}$, $v = 12 \ \text{m s}^{-1}$
2. 使用线速度形式的向心力公式：
3. $$F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{1500 \times (12)^2}{40}$$
4. 计算结果：$F_c = \frac{1500 \times 144}{40} = 5400 \ \text{N}$
5. 该力由汽车轮胎与路面之间的摩擦力提供。

## 向心力的来源

考试中的核心要点：向心力**并不是一种新的、独立的力**。它是现有物理力指向圆心方向的合外力，可以由单个力提供，也可以由多个力的矢量和提供。

- 拉力：拴在绳/杆上旋转的物体
- 引力：绕恒星运动的行星、绕行星运动的卫星
- 摩擦力：在水平弯道行驶的汽车和自行车
- 支持力：倾斜赛道上的汽车、过山车的竖直圆周轨道
- 静电力：绕原子核运动的电子（玻尔模型）

**例题:** 过山车车厢在半径为10 m的竖直圆形轨道上运动，在轨道最高点时，车厢倒悬在轨道内侧。此时哪些力对向心力有贡献？

1. 画出最高点处车厢的受力图，有两个竖直方向的力：
2. 1. 车厢的重力（$mg$），方向向下；2. 轨道的支持力（$R$），方向也向下（轨道在倒悬车厢的上方）
3. 轨道最高点的圆心在车厢正下方，因此两个力都指向圆心。
4. 答案：向心力是重力与支持力的和，即 $F_c = mg + R$，因此两个力都对向心力有贡献。

## 常见错误

- **错误做法:** 在受力图中将向心力视为额外的独立力。
  - 原因: 向心力只是现有力的合外力，不是物体之间新的相互作用。
  - 正确做法: 先画出所有已存在的力，再将它们指向圆心的分量求和得到合向心力。
- **错误做法:** 将向心力画成指向圆外的方向。
  - 原因: 根据定义，向心力的含义是'指向圆心'，因此方向始终指向圆心。
  - 正确做法: 始终将贡献向心力的力分量画成指向圆周路径的圆心方向。
- **错误做法:** 将单位为度每秒的角速度代入 $F_c = m\omega^2 r$ 计算。
  - 原因: 向心力公式推导时使用的角速度单位是弧度每秒。
  - 正确做法: 代入前一定要将角速度单位从度每秒转换为弧度每秒。
- **错误做法:** 认为向心力做功维持物体做圆周运动。
  - 原因: 向心力始终与瞬时速度垂直，因此做功 = 力 × 力方向上的位移 = 零。
  - 正确做法: 应说明向心力只改变速度方向，不改变速度大小，且不对物体做功。

## 速查表

| 性质 | 公式 | 核心要点 |
| --- | --- | --- |
| $F_c$ 的方向 | - | 始终指向圆心 |
| 大小（已知v） | $F_c = \frac{mv^2}{r}$ | $v$ = 瞬时线速度 |
| 大小（已知$\omega$） | $F_c = m\omega^2 r$ | $\omega$ 单位必须为弧度每秒 |
| 力的性质 | - | 不是独立力，是合外力 |
| 常见来源 | - | 拉力、引力、摩擦力、支持力 |

## 下一步

向心力是CIE A-Level物理中所有圆周运动解题的基础概念。你会将这个核心概念应用到更复杂的场景中，包括竖直圆周运动、圆锥摆、倾斜弯道和卫星轨道运动。掌握向心力也是学习后续主题如转动动力学、简谐运动和引力场的前提。请多练习在不同场景中识别向心力的来源，因为这是非常高频的考题。

- [向心加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-centripetal-acceleration/)
- [引力场](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-overview/)
- [引力场概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-gravitational-field-concepts/)

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