# 角位移与角速度

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-angular-displacement-and-speed/

本子主题介绍了用于描述匀速圆周运动的核心运动学物理量，涵盖弧度制角度测量、角速度与周期、频率的关系，以及角速度与切向线速度的转换。

**先修:** 基础三角学知识，以及弧度作为角度单位的概念; 线运动学（速度、路程、时间的关系）

## 学习目标

- 以弧度为单位定义角位移和角速度
- 建立角速度与转动周期、频率的关系
- 对转动刚体上的点进行角速度与切向线速度的相互转换

## 弧度制下的角位移

**角位移** — 转动体绕固定轴从初始位置转过的角度（单位为弧度），按惯例逆时针转动的角位移为正

*记法:* \theta

*例:* 完整转动一周的角位移为 \theta = 2\pi 弧度

弧度是圆周运动的标准单位，因为它能在弧长（点沿圆周路径运动的距离）、半径和角位移之间建立简单的比例关系：

$$s = r\theta$$

**例题:** 自行车车轮半径为30 cm，车轮上某点转过了2.5弧度。计算该点运动的弧长。

1. 确定已知量，将半径转换为国际单位：
2. $$r = 30 \text{ cm} = 0.30 \text{ m}, \quad \theta = 2.5 \text{ rad}$$
3. 代入弧长公式：
4. $$s = r\theta = 0.30 \times 2.5 = 0.75 \text{ m}$$
5. 该点沿路径运动的距离为0.75 m（75 cm）。

*计算器:* allowed

## 角速度、周期与频率

**角速度** — 角位移随时间的变化率，单位为弧度每秒 (rad s⁻¹)

*记法:* \omega

*例:* 每秒转过4π弧度的吊扇的角速度为 \omega = 4\pi rad s⁻¹

**推导:** 推导角速度、周期和频率之间的关系

*起点:* 角速度定义为 \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}

1. 完成一次完整转动时，总角位移为\(2\pi\)弧度，所用时间为周期\(T\)。代入定义：
2. $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$
3. 频率 \(f\) 定义为每秒转动次数，所以 \(f = \frac{1}{T}\)。代入后得到：
4. $$\omega = 2\pi f$$

*结论:* 角速度与转动频率成正比，与转动周期成反比。

**例题:** 汽车发动机曲轴转速为3000转每分钟 (rpm)。计算其角速度，单位为rad s⁻¹。

1. 将转速从转每分钟转换为赫兹（转每秒）形式的频率：
2. $$f = \frac{3000}{60} = 50 \text{ Hz}$$
3. 代入角速度公式：
4. $$\omega = 2\pi f = 2\pi (50) = 100\pi \approx 314 \text{ rad s}^{-1}$$

*计算器:* allowed

## 角速度与线速度的关系

对于刚性转动体，所有点的角速度都相同，但点的线（切向）速度取决于它到转轴的距离。从弧长关系 \(s = r\theta\) 出发，对两边关于时间求导可得：

$$v = r\omega$$

> **tip**
>
> 这里的\(v\)是沿圆周路径的切向速度，不是角速度。即使角速度恒定，速度方向也会不断变化，这会产生向心加速度。

**例题:** 旋转木马以0.8 rad s⁻¹的恒定角速度转动，计算一名坐在距离转动中心3.0 m处的乘客的切向速度。

1. 确定已知量： \(r = 3.0\) m， \(\omega = 0.8\) rad s⁻¹
2. 代入角速度与线速度的关系式：
3. $$v = r\omega = 3.0 \times 0.8 = 2.4 \text{ m s}^{-1}$$

**概念自测**

测试你的理解：

1. 一个直径为0.8 m的轮子角速度为10 rad s⁻¹，轮边缘某点的切向速度是多少？

   - 4 m s⁻¹
   - 8 m s⁻¹
   - 16 m s⁻¹
   - 10π m s⁻¹

   *答案:* 4 m s⁻¹

   *解析:* 正确：首先计算半径 \(r = 0.8/2 = 0.4\) m，然后 \(v = 0.4 \times 10 = 4\) m s⁻¹。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在公式\(s = r\theta\)或\(v = r\omega\)中使用角度制而非弧度制
  - 原因: 这些比例关系仅当角位移用弧度测量时成立，角度制下不成立
  - 正确做法: 代入公式前，必须先将角度制角度乘以 \(\pi/180\) 转换为弧度制
- **错误做法:** 假设刚性转动体上所有点的线速度都相同
  - 原因: 刚性转动体上只有角速度处处相等；线速度随到转轴的距离增大而增大
  - 正确做法: 记住：对于刚性转动体上任意点，满足 \(v = r\omega\)，因此线速度与半径成正比
- **错误做法:** 计算角速度前忘记将频率从转每分钟 (rpm) 转换为赫兹 (Hz)
  - 原因: 频率的国际单位是转每秒 (Hz)；直接使用rpm会得到比正确值小60倍的错误结果
  - 正确做法: 代入 \(\omega = 2\pi f\) 前，必须将rpm除以60得到Hz单位的频率
- **错误做法:** 在 \(v = r\omega\) 中使用直径而非半径
  - 原因: 考试题目通常会给出车轮/圆的直径，考查考生对细节的注意程度
  - 正确做法: 代入前务必检查给出的长度是半径还是直径，直径需要除以2得到半径

## 速查表

| 物理量 | 符号 | 公式 | 国际单位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 角位移 | $\theta$ | $\theta = s/r$ | 弧度 (rad) |
| 角速度 | $\omega$ | $\omega = \Delta\theta/\Delta t = 2\pi/T = 2\pi f$ | rad s⁻¹ |
| 切向速度 | $v$ | $v = r\omega$ | m s⁻¹ |
| 转动周期 | $T$ | $T = 1/f = 2\pi/\omega$ | 秒 (s) |
| 转动频率 | $f$ | $f = 1/T = \omega/2\pi$ | 赫兹 (Hz) |

## 下一步

本文介绍的角位移和角速度概念是所有后续圆周运动学习的基础，下一个核心主题是向心加速度和向心力，这部分内容解释了为什么即使速度恒定，圆周运动也需要合外力。掌握这些角量与线量的关系对所有后续圆周运动问题至关重要，这些关系还可延伸到CIE 9702大纲后续章节中的转动动力学、力矩和转动惯量主题。考试题目经常将这些基础运动学关系与力的计算结合，因此持续熟记是关键。

- [向心加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-centripetal-acceleration/)
- [向心力](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-centripetal-force/)
- [引力场](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u17-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-angular-displacement-and-speed/