# 不确定性分析

> A-Level 物理 · CIE 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-uncertainty-analysis/

本模块涵盖CIE AS物理实验考核的核心不确定性分析内容，包括误差类型、绝对/百分不确定度和计算结果的不确定度合成，满足试卷2和试卷3的考核要求。

**先修:** [基础实验测量和误差类型](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-measurement-errors/); 算术运算和科学计数法

## 学习目标

- 区分随机误差和系统误差，以及绝对不确定度和百分不确定度
- 从多次测量计算不确定度
- 对所有算术运算和幂运算合成不确定度
- 计算图形分析中斜率的不确定度

## 误差类型与核心不确定度定义

所有实验测量都存在可量化的不确定度，它不是错误，而是真值所在的范围。不确定度来源于两大类误差。

**随机误差** — 测量结果之间不可预测的差异，导致真值附近产生离散，可通过多次测量取平均值减小。

*例:* 多次测量下落物体的秒表读数存在差异

**系统误差** — 所有测量结果一致、可重复的误差偏移，使所有测量结果向同一方向偏离真值，无法通过取平均值减小。

*例:* 一支温度计始终比真实温度高0.5°C

**绝对不确定度** — 测量中误差的绝对范围，单位与测量值相同，等于多次测量范围的一半或仪器最小分度值。

*记法:* \Delta x

*例:* $10 \pm 0.1$ g has an absolute uncertainty of 0.1 g

**百分不确定度** — 以测量值百分比表示的绝对不确定度，方便比较不同大小测量量的不确定度。

*例:* A 10 g mass with 0.1 g absolute uncertainty has a 1% percentage uncertainty

**例题:** 一名学生测量金属丝直径3次，得到0.42 mm、0.46 mm、0.44 mm。计算绝对不确定度和百分不确定度。

1. 计算平均直径：

   $$d = \frac{0.42 + 0.46 + 0.44}{3} = 0.44 \text{ mm}$$
2. 找到测量值的范围：

   $$\text{Range} = 0.46 - 0.42 = 0.04 \text{ mm}$$
3. 绝对不确定度是范围的一半：

   $$\Delta d = \frac{0.04}{2} = 0.02 \text{ mm}$$
4. 计算百分不确定度：

   $$\text{Percentage uncertainty} = \frac{0.02}{0.44} \times 100 \approx 4.5\%$$
5. Final result: $d = 0.44 \pm 0.02$ mm (or 0.44 mm ± 4.5%)

**考试命令词**

CIE对本主题的命令术语：

- **Calculate uncertainty** — 应用合适的合成规则计算总不确定度 *(需要写出绝对/百分不确定度转换的计算过程)*

- **Distinguish between random and systematic error** — 说明二者的核心区别，并分别给出例子

> **考试提示:** CIE要求多次测量得到的绝对不确定度取范围的一半，而非整个范围。除非首位数字是1，否则不确定度保留1位有效数字。

*计算器:* allowed

## 不确定度合成：加法与减法

当对测量量进行加法或减法运算时，始终将各测量量的绝对不确定度相加得到总不确定度。该规则无论你做加法还是减法都适用，因为不确定度总会增加总误差。

$$Q = a \pm b \implies \Delta Q = \Delta a + \Delta b$$

**例题:** 空烧杯质量为$50.0 \pm 0.1$ g，加水后总质量为$126.4 \pm 0.2$ g。求水的质量及其不确定度。

1. 通过减法计算水的质量：

   $$m = 126.4 - 50.0 = 76.4 \text{ g}$$
2. 将两个测量量的绝对不确定度相加：

   $$\Delta m = 0.1 + 0.2 = 0.3 \text{ g}$$
3. Final result: $m = 76.4 \pm 0.3$ g

**概念自测**

检测你的理解

1. If $x = 10 \pm 1$ and $y = 5 \pm 0.5$, what is the absolute uncertainty in $x - y$?

   - 0.5
   - 1.5
   - 5.5

   *答案:* 1.5

   *解析:* 正确！加法和减法我们始终将绝对不确定度相加，所以1 + 0.5 = 1.5。即使做减法运算，不确定度依然相加。

*计算器:* allowed

## 不确定度合成：乘法、除法与幂运算

对于乘法、除法和幂运算，我们使用百分不确定度，将所有变量的百分不确定度相加。对于幂运算，将百分不确定度乘以变量的指数。

$$\text{For } Q = \frac{ab}{c} \implies \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = \frac{\Delta a}{a} \times 100 + \frac{\Delta b}{b} \times 100 + \frac{\Delta c}{c} \times 100
\\
\text{For } Q = a^n \implies \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = n \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)$$

**例题:** Power $P = V^2 / R$, where $V = 10.0 \pm 0.5$ V and $R = 4.0 \pm 0.1$ Ω. Find the percentage uncertainty in $P$.

1. Calculate percentage uncertainty for V and R:

   $$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 5\%, \quad \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2.5\%$$
2. Multiply V's percentage uncertainty by its exponent (2):

   $$\text{Uncertainty from } V = 2 \times 5\% = 10\%$$
3. Add all percentage uncertainties:

   $$\text{Total percentage uncertainty} = 10\% + 2.5\% = 12.5\%$$
4. Convert to absolute uncertainty for final result:

   $$P = 25 \text{ W}, \quad \Delta P = 3 \text{ W}, \quad P = 25 \pm 3 \text{ W}$$

> **tip**
>
> 进行这些运算的不确定度合成前务必先转换为百分不确定度，绝对不要在这里加绝对不确定度。

*计算器:* allowed

## 图形分析中的不确定度

在实验考核中，你经常需要计算最佳拟合线斜率的不确定度。误差棒用于显示每个绘图点的绝对不确定度。

要计算斜率的不确定度，画出能穿过几乎所有误差棒的最陡和最平缓的可能最佳拟合线。斜率的绝对不确定度等于最大斜率和最小斜率差值的一半。

**例题:** Best-fit gradient is 2.4. Maximum possible gradient is 2.6, minimum is 2.2. Find the uncertainty in gradient.

1. Calculate the range between maximum and minimum gradient:

   $$\text{Range} = 2.6 - 2.2 = 0.4$$
2. Absolute uncertainty is half the range:

   $$\Delta m = 0.2$$
3. Final result: $m = 2.4 \pm 0.2$

> **考试提示:** 即使最终不确定度有小的计算错误，只要你正确画出误差棒和最大/最小线，也能得到大部分分数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用多次测量的整个范围，而非范围的一半作为绝对不确定度
  - 原因: 这会错误地将不确定度翻倍，导致扣分
  - 正确做法: 始终将绝对不确定度计算为多次测量范围的一半
- **错误做法:** 计算两个测量值的差时减去不确定度
  - 原因: 不确定度始终相加，即使你减去测量值，这会低估总误差
  - 正确做法: 所有加法和减法运算都将绝对不确定度相加
- **错误做法:** 乘法和除法计算中加绝对不确定度
  - 原因: 绝对不确定度取决于测量值大小，相加会得到错误的总不确定度
  - 正确做法: 将所有不确定度转换为百分比，相加后如需可再转换回绝对不确定度
- **错误做法:** 计算幂的不确定度时忘记将百分不确定度乘以指数
  - 原因: 这会将总不确定度低估一个等于指数的倍数
  - 正确做法: 始终将百分不确定度乘以变量的指数
- **错误做法:** 首位数字大于1时，不确定度保留两位或更多有效数字
  - 原因: 不确定度是近似估计，额外的有效数字没有意义
  - 正确做法: 首位数字>1时，不确定度保留1位有效数字，仅首位数字为1时保留两位

## 速查表

| 运算 | 不确定度规则 |
| --- | --- |
| 加法/减法 ($Q = a \pm b$) | 相加绝对不确定度: $\Delta Q = \Delta a + \Delta b$ |
| 乘法/除法 ($Q = ab/c$) | 相加百分不确定度: $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$ |
| 幂运算 ($Q = a^n$) | 百分不确定度乘以 $n$: $\frac{\Delta Q}{Q} = n\left(\frac{\Delta a}{a}\right)$ |
| 多次测量 | $\Delta = \frac{1}{2} \times (max - min)$ |
| 斜率不确定度 (图像) | $\Delta m = \frac{1}{2} \times (m_{max} - m_{min})$ |

## 下一步

不确定性分析是物理所有实验工作的基础，是所有AS和A Level实验考核的核心部分，包括试卷3（实验测试）和试卷2（实验技能理论题）。掌握这些规则能让你正确处理实验数据，避免常见错误，在计算题拿到满分。这些规则也会沿用到A Level实验工作中，应用于更复杂的实验和扩展分析。

- [结果评估](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-evaluation-of-results/)
- [圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-overview/)
- [角位移与角速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-angular-displacement-and-speed/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-uncertainty-analysis/