# 结果评估

> CIE A-Level 物理 · 9702 AS 实践技能
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-evaluation-of-results/

本子主题涵盖如何量化原始和计算实验结果的不确定度，区分误差类型，评估实践工作的准确性，这是CIE AS物理实践评估的核心技能。

**先修:** [基础实验测量技术](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-measurement-techniques/); [实践数据的绘图](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u15-graphical-analysis/)

## 学习目标

- 区分实验测量中的随机误差和系统误差
- 计算原始数据和计算数据的绝对、分数和百分比不确定度
- 从实验图像中得到斜率和截距的不确定度
- 评估结果的准确性，并参考不确定度验证结论

## 误差和不确定度的类型

**随机误差和系统误差** — 随机误差导致读数在真实值周围分散，来源于测量条件中不可控的波动。系统误差由于设备故障或错误流程，使所有测量值一致偏离真实值。

*例:* 单摆计时时反应时间的变化是随机误差；读取刻度时持续的视差误差是系统误差。

不确定度是测量中的误差范围，量化误差的影响。减小随机误差可提高精密度，修正系统误差可提高准确度。

> **tip**
>
> 减小随机误差的方法：多次测量取平均值。系统误差无法通过重复测量减小，需要修正实验流程。

**例题:** 一名学生三次测量单摆10次振动的时间：12.2 s, 12.5 s, 12.1 s。对读数间的变化分类，求平均时间的不确定度。

1. 同一物理量重复测量之间的变化由随机误差引起。
2. 计算平均时间:
3. $$t_{\text{mean}} = \frac{12.2 + 12.5 + 12.1}{3} = 12.27 \approx 12.3 \ \text{s}$$
4. 不确定度是读数范围的一半:
5. $$\Delta t = \frac{t_{\text{max}} - t_{\text{min}}}{2} = \frac{12.5 - 12.1}{2} = 0.2 \ \text{s}$$
6. Final result: $t = 12.3 \pm 0.2$ s

## 不确定度的合成

**不确定度分类** — 绝对不确定度的单位与被测量相同。分数不确定度和百分比不确定度无量纲，描述相对于测量值的不确定度大小。

*记法:* For measurement $x$, absolute uncertainty: $\Delta x$, fractional: $\frac{\Delta x}{x}$, percentage: $\frac{\Delta x}{x} \times 100\%$

1. 加法/减法: 相加**绝对**不确定度
2. 乘法/除法: 相加**分数/百分比**不确定度
3. Powers ($x^n$): multiply fractional uncertainty by $n$

**例题:** 一个球体直径 $d = 2.00 \pm 0.02$ cm。计算其体积的百分比不确定度。

1. 球体体积公式为:
2. $$V = \frac{\pi d^3}{6}$$
3. 计算直径的百分比不确定度:
4. $$\% \Delta d = \frac{0.02}{2.00} \times 100\% = 1\%$$
5. Since $V \propto d^3$, multiply percentage uncertainty by the exponent 3:
6. $$\% \Delta V = 3 \times 1\% = 3\%$$
7. Final result: 体积的百分比不确定度为 3%

## 图像斜率的不确定度

对于线性图像，斜率和截距的不确定度通过在最佳拟合线旁绘制最差拟合线得到。最差拟合线是仍然经过所有绘制点误差棒的极限可能直线。

**斜率的不确定度** — 不确定度为最陡最差拟合线和最平缓最差拟合线的斜率差的一半。

**例题:** 学生绘制弹簧的力-伸长量图，最佳拟合斜率为 $24$ Nm⁻¹，最大斜率为 $26$ Nm⁻¹，最小斜率为 $22$ Nm⁻¹。求劲度系数的不确定度。

1. 不确定度是斜率范围的一半:
2. $$\Delta k = \frac{k_{\text{max}} - k_{\text{min}}}{2} = \frac{26 - 22}{2} = 2 \ \text{Nm}^{-1}$$
3. 最终斜率记录为:
4. $$k = 24 \pm 2 \ \text{Nm}^{-1}$$
5. Percentage uncertainty is $\frac{2}{24} \times 100\% \approx 8\%$

## 评估实验结论

To evaluate the accuracy of a result, you check if the accepted true value lies within the range of your result: $x_{\text{true}} \in [x_{\text{mean}} - \Delta x, x_{\text{mean}} + \Delta x]$. If it does, the result is accurate within experimental uncertainty.

**考试命令词**

评估部分的常见命令术语有特定的考试要求:

- **Evaluate** — Comment on accuracy/reliability and suggest relevant improvements *(State if the result supports the hypothesis, referencing uncertainty)*

- **Justify** — You must explicitly reference uncertainty to support your conclusion *(Justify if your result is accurate by checking if true value is within your uncertainty range)*

**例题:** 学生计算得 $g = 9.3 \pm 0.6$ ms⁻²。公认值为 $9.81$ ms⁻²。评论结果的准确性。

1. Find the range of the student's result: $9.3 - 0.6 = 8.7$ to $9.3 + 0.6 = 9.9$ ms⁻²
2. Check if the accepted value falls within this range: $8.7 < 9.81 < 9.9$, so the accepted value is inside the uncertainty range.
3. Conclusion: Within the uncertainty of the experiment, the result is accurate.

## 常见错误

- **错误做法:** 对加减法测量量相加百分比不确定度
  - 原因: 加减法中不确定度以绝对值相加，而非百分比
  - 正确做法: Convert all uncertainties to absolute values, sum the absolute uncertainties, then calculate percentage uncertainty from the total
- **错误做法:** 计算幂运算的不确定度时忘记乘以指数
  - 原因: If $y = x^n$, the fractional uncertainty scales by $n$, so it cannot stay the same as for $x$
  - 正确做法: Always multiply the fractional uncertainty of $x$ by the power of $x$ in the expression for $y$
- **错误做法:** 将最差拟合线画在误差棒外以得到更大的不确定度
  - 原因: Worst-fit lines must still pass through all error bars, just at the extreme of the possible range
  - 正确做法: Draw the steepest and shallowest lines that pass through every error bar, then calculate uncertainty from these
- **错误做法:** 仅因为结果不完全等于真实值就声称结果不准确
  - 原因: All experiments have uncertainty, so small deviations are expected within the error range
  - 正确做法: Check if the true value falls within your $\text{mean} \pm \text{uncertainty}$ range, and conclude accuracy from that
- **错误做法:** 将不确定度保留超过 1 或 2 位有效数字
  - 原因: Uncertainty is an estimate, so extra significant figures are meaningless
  - 正确做法: Round uncertainty to one significant figure, then round the best estimate to the same decimal place as the uncertainty

## 速查表

| 规则 | 运算 | 不确定度计算 |
| --- | --- | --- |
| Add/Subtract | $y = a \pm b$ | $\Delta y = \Delta a + \Delta b$ |
| Multiply/Divide | $y = \frac{ab}{c}$ | $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$ |
| Power | $y = ax^n$ | $\frac{\Delta y}{y} = n \frac{\Delta x}{x}$ |
| Graph Gradient | $m_b$ (best), $m_{max}$, $m_{min}$ | $\Delta m = \frac{m_{max} - m_{min}}{2}$ |
| Repeated Readings | Mean of $n$ measurements | $\Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{2}$ |

## 下一步

掌握结果评估是AS和A2 CIE物理所有实践和数据分析问题的必备能力，也是所有科学研究的核心技能。理解不确定度有助于你设计更好的实验，批判性评估结果，并在考试答案中清晰验证你的结论。本子主题直接建立在测量技能和图像分析的基础上，为你A2阶段更高级的实验规划和评估做准备。

- [圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-overview/)
- [角位移与角速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-angular-displacement-and-speed/)
- [向心加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u16-centripetal-acceleration/)

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