放射性衰变

物理· 45 分钟阅读

1. 放射性衰变的性质★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

放射性衰变

不稳定母核发射辐射变为更稳定状态的自发随机过程，不受温度、压力等外部物理条件影响。

区分放射性衰变的两个关键性质非常重要，这也是CIE考试的常考点：自发性和随机性。

📐 例题

描述放射性衰变时，区分'自发'和'随机'这两个术语。

1
定义自发衰变：
2
自发指衰变过程不由任何外部因素（例如温度、压力、化学键）触发，也不受外部条件控制。
3
定义随机衰变：
4
随机指无法准确预测单个不稳定核何时衰变，只能知道给定时间内衰变的概率。

2. 核衰变方程★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

配平的核衰变方程

表示不稳定母核转变的方程，反应两边总质子数（原子序数）和总核子数（质量数）守恒。

针对CIE AS Level，你需要掌握三种常见衰变类型：

α（ $α$ ）衰变：发射 $_{2}^{4} α$ 粒子，质子数减少2，质量数减少4
β⁻（ $β^{-}$ ）衰变：一个中子衰变为质子，发射一个电子和电子反中微子，质子数增加1，质量数不变
γ（ $γ$ ）衰变：发射一个高能光子，质子数和质量数均不变

📐 例题

写出铀-238（ $_{92}^{238} U$ ）α衰变的配平核方程。

1
质量数守恒：左边总质量数为238，因此 $238 = A + 4 \to A = 234$
2
质子数守恒：左边总质子数为92，因此 $92 = Z + 2 \to Z = 90$
3
质子数为90的元素是钍（Th），因此完整配平方程为：
4
$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\alpha$

3. 指数衰变定律★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

活度

A

放射性样品的衰变速率，等于每秒发生的衰变次数。活度与样品中剩余未衰变原子核数成正比，单位为贝克勒尔（Bq），其中 $1 Bq = 1 次衰变每秒$ 。

衰变常数 $λ$ 是单个原子核单位时间内衰变的概率。衰变速率由以下微分方程给出：

\frac{dN}{dt} = -\lambda N

对该式积分得到t时刻未衰变原子核数 $N$ 的指数衰变定律，其中 $N_{0}$ 是初始未衰变原子核数：

N = N_0 e^{-\lambda t}

由于活度 $A \propto N$ ，因此还可以得到：

A = A_0 e^{-\lambda t}

📐 例题

某放射性样品初始活度为800 Bq，衰变常数为 $0.02 s^{- 1}$ ，计算100秒后的活度。

1
写出活度的衰变定律：
2
$A = A_0 e^{-\lambda t}$
3
代入已知数值： $A_{0} = 800 Bq$ ， $λ = 0.02 s^{- 1}$ ， $t = 100 s$
4
计算得 $λ t = 0.02 \times 100 = 2$
5
计算最终活度：
6
$A = 800 e^{-2} \approx 800 \times 0.135 = 108 \text{ Bq}$

4. 半衰期★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

半衰期

t_{1/2}

样品中原有一半未衰变原子核发生衰变所需的时间，等价于样品活度降至初始值一半所需的时间。

我们可以通过令 $t = t_{1/2}$ 时 $N = \frac{N _{0}}{2}$ ，推导半衰期和衰变常数的关系：

\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}

约去 $N_{0}$ 并对两边取自然对数，得到核心关系式：

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}

📐 例题

某放射性同位素半衰期为5.0年，纯净样品初始质量为100 g，计算(a)衰变常数，(b)15年后剩余质量。

1
(a)问：使用 $t_{1/2}$ 和 $λ$ 的关系式：
2
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5.0} = 0.14 \text{ yr}^{-1} \ (2 \text{ s.f.})$
3
(b)问：计算经过的半衰期个数：
4
$n = \frac{总时间}{t _{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ 个半衰期
5
经过n个半衰期后剩余质量分数为 = $(\frac{1}{2})^{n}$
6
$\text{剩余质量} = 100 \times (\frac{1}{2})^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12.5 \text{ g}$

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆自发衰变和随机衰变，表述为'自发指无法预测单个原子核何时衰变'

原因:

这混淆了两个术语的定义，该问题很常见，需要分别定义才能得满分

正确做法:

自发=衰变不由外部因素触发；随机=无法预测单个原子核的衰变时间

错误做法:

β⁻衰变方程中遗漏电子反中微子

原因:

即使不添加它质量数和质子数也守恒，但CIE阅卷官要求写出所有产物才能给满分

正确做法:

所有 $β^{-}$ 衰变方程的产物侧都必须添加 $\overset{ν}{ˉ}_{e}$ （电子反中微子）

错误做法:

记错半衰期和衰变常数的关系，使用 $λ = \frac{t _{1/2}}{l n 2}$

原因:

半衰期越长衰变常数越小，该式颠倒了反比关系，会得到错误结果

正确做法:

牢记 $λ = \frac{l n 2}{t _{1/2}}$ ，半衰期越长，λ越小，符合物理意义

错误做法:

对于100 g、半衰期5年的样品，认为10年后剩余50 g

原因:

10年实际经过了两个半衰期，这里只算了一个

正确做法:

10年=2个半衰期，剩余分数为 $(1/2)^{2} = 1/4$ ，因此剩余25 g

错误做法:

单位不统一，例如半衰期单位用分钟，衰变常数单位用每秒

原因:

即使方法正确，单位不匹配也会得到错误的数值结果

正确做法:

开始计算前，务必统一 $t_{1/2}$ 、 $λ$ 和时间t的单位

6. 速查表

物理量/性质	符号	公式/规则	单位
活度	$A$	$A = A_{0} e^{- λ t} = λ N$	Bq
衰变常数	$λ$	$λ = ln 2/ t_{1/2}$	time $^{- 1}$
半衰期	$t_{1/2}$	$t_{1/2} = ln 2/ λ$	time
未衰变原子核	$N$	$N = N_{0} e^{- λ t}$	nuclei
α衰变的变化	$Δ Z, Δ A$	$Δ Z = - 2, Δ A = - 4$
Beta⁻衰变的变化	$Δ Z, Δ A$	$Δ Z = + 1, Δ A = 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 11
关于自发衰变和随机衰变的选择题
2023 · 22
半衰期计算题
2021 · 13
配平核衰变方程

下一步

你已经掌握了放射性衰变的基础，接下来可以在此基础上学习A-Level核物理的更高级主题。放射性衰变是理解放射性定年法的基础——该方法利用同位素已知的半衰期估算古代材料的年代，此外它也是核能产生和辐射安全的基础。在后续主题中你会遇到更复杂的衰变链，即经过多次连续衰变后才形成稳定核，需要你将指数衰变定律应用到多个步骤中。掌握本小节对于解答结合能、核裂变/核聚变相关问题也必不可少，这些问题都依赖对核转变的理解。

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