# 放射性衰变

> 物理 · CIE A-Level AS
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u11-radioactive-decay/

本模块讲解放射性衰变的核心性质，包括衰变的随机性和自发性、核方程配平、指数衰变定律，以及涉及衰变常数和半衰期的计算。

**先修:** [原子与核结构（质子数、核子数）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-nuclear-structure/)

## 学习目标

- 区分放射性衰变的自发性和随机性
- 写出α、β和γ衰变的配平核衰变方程
- 应用指数衰变定律计算活度、原子核数和衰变常数
- 关联半衰期与衰变常数，解决相关计算问题

## 放射性衰变的性质

**放射性衰变** — 不稳定母核发射辐射变为更稳定状态的自发随机过程，不受温度、压力等外部物理条件影响。

区分放射性衰变的两个关键性质非常重要，这也是CIE考试的常考点：自发性和随机性。

**例题:** 描述放射性衰变时，区分'自发'和'随机'这两个术语。

1. 定义自发衰变：
2. 自发指衰变过程不由任何外部因素（例如温度、压力、化学键）触发，也不受外部条件控制。
3. 定义随机衰变：
4. 随机指无法准确预测单个不稳定核何时衰变，只能知道给定时间内衰变的概率。

> **tip**
>
> 该问题在选择题和结构化试题中都极其常见——当题目要求区分时，务必分别定义两个术语。

## 核衰变方程

**配平的核衰变方程** — 表示不稳定母核转变的方程，反应两边总质子数（原子序数）和总核子数（质量数）守恒。

针对CIE AS Level，你需要掌握三种常见衰变类型：
1. α（$\alpha$）衰变：发射$^4_2\alpha$粒子，质子数减少2，质量数减少4
2. β⁻（$\beta^-$）衰变：一个中子衰变为质子，发射一个电子和电子反中微子，质子数增加1，质量数不变
3. γ（$\gamma$）衰变：发射一个高能光子，质子数和质量数均不变

**例题:** 写出铀-238（$^{238}_{92}\text{U}$）α衰变的配平核方程。

1. 质量数守恒：左边总质量数为238，因此$238 = A + 4 \rightarrow A = 234$
2. 质子数守恒：左边总质子数为92，因此$92 = Z + 2 \rightarrow Z = 90$
3. 质子数为90的元素是钍（Th），因此完整配平方程为：
4. $$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\alpha$$

## 指数衰变定律

**活度** — 放射性样品的衰变速率，等于每秒发生的衰变次数。活度与样品中剩余未衰变原子核数成正比，单位为贝克勒尔（Bq），其中$1 \text{ Bq} = 1 \text{ 次衰变每秒}$。

*记法:* A

衰变常数$\lambda$是单个原子核单位时间内衰变的概率。衰变速率由以下微分方程给出：

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

对该式积分得到t时刻未衰变原子核数$N$的指数衰变定律，其中$N_0$是初始未衰变原子核数：

$$N = N_0 e^{-\lambda t}$$

由于活度$A \propto N$，因此还可以得到：

$$A = A_0 e^{-\lambda t}$$

**例题:** 某放射性样品初始活度为800 Bq，衰变常数为$0.02 \text{ s}^{-1}$，计算100秒后的活度。

1. 写出活度的衰变定律：
2. $$A = A_0 e^{-\lambda t}$$
3. 代入已知数值：$A_0 = 800 \text{ Bq}$，$\lambda = 0.02 \text{ s}^{-1}$，$t = 100 \text{ s}$
4. 计算得$\lambda t = 0.02 \times 100 = 2$
5. 计算最终活度：
6. $$A = 800 e^{-2} \approx 800 \times 0.135 = 108 \text{ Bq}$$

## 半衰期

**半衰期** — 样品中原有一半未衰变原子核发生衰变所需的时间，等价于样品活度降至初始值一半所需的时间。

*记法:* t_{1/2}

我们可以通过令$t = t_{1/2}$时$N = \frac{N_0}{2}$，推导半衰期和衰变常数的关系：

$$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$$

约去$N_0$并对两边取自然对数，得到核心关系式：

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$$

**例题:** 某放射性同位素半衰期为5.0年，纯净样品初始质量为100 g，计算(a)衰变常数，(b)15年后剩余质量。

1. (a)问：使用$t_{1/2}$和$\lambda$的关系式：
2. $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5.0} = 0.14 \text{ yr}^{-1} \ (2 \text{ s.f.})$$
3. (b)问：计算经过的半衰期个数：
4. $n = \frac{\text{总时间}}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$个半衰期
5. 经过n个半衰期后剩余质量分数为 = $(\frac{1}{2})^n$
6. $$\text{剩余质量} = 100 \times (\frac{1}{2})^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12.5 \text{ g}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆自发衰变和随机衰变，表述为'自发指无法预测单个原子核何时衰变'
  - 原因: 这混淆了两个术语的定义，该问题很常见，需要分别定义才能得满分
  - 正确做法: 自发=衰变不由外部因素触发；随机=无法预测单个原子核的衰变时间
- **错误做法:** β⁻衰变方程中遗漏电子反中微子
  - 原因: 即使不添加它质量数和质子数也守恒，但CIE阅卷官要求写出所有产物才能给满分
  - 正确做法: 所有$\beta^-$衰变方程的产物侧都必须添加$\bar{\nu}_e$（电子反中微子）
- **错误做法:** 记错半衰期和衰变常数的关系，使用$\lambda = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}$
  - 原因: 半衰期越长衰变常数越小，该式颠倒了反比关系，会得到错误结果
  - 正确做法: 牢记$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$，半衰期越长，λ越小，符合物理意义
- **错误做法:** 对于100 g、半衰期5年的样品，认为10年后剩余50 g
  - 原因: 10年实际经过了两个半衰期，这里只算了一个
  - 正确做法: 10年=2个半衰期，剩余分数为$(1/2)^2 = 1/4$，因此剩余25 g
- **错误做法:** 单位不统一，例如半衰期单位用分钟，衰变常数单位用每秒
  - 原因: 即使方法正确，单位不匹配也会得到错误的数值结果
  - 正确做法: 开始计算前，务必统一$t_{1/2}$、$\lambda$和时间t的单位

## 速查表

| 物理量/性质 | 符号 | 公式/规则 | 单位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 活度 | $A$ | $A = A_0 e^{-\lambda t} = \lambda N$ | Bq |
| 衰变常数 | $\lambda$ | $\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$ | time$^{-1}$ |
| 半衰期 | $t_{1/2}$ | $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ | time |
| 未衰变原子核 | $N$ | $N = N_0 e^{-\lambda t}$ | nuclei |
| α衰变的变化 | $\Delta Z, \Delta A$ | $\Delta Z = -2, \Delta A = -4$ | - |
| Beta⁻衰变的变化 | $\Delta Z, \Delta A$ | $\Delta Z = +1, \Delta A = 0$ | - |

## 下一步

你已经掌握了放射性衰变的基础，接下来可以在此基础上学习A-Level核物理的更高级主题。放射性衰变是理解放射性定年法的基础——该方法利用同位素已知的半衰期估算古代材料的年代，此外它也是核能产生和辐射安全的基础。在后续主题中你会遇到更复杂的衰变链，即经过多次连续衰变后才形成稳定核，需要你将指数衰变定律应用到多个步骤中。掌握本小节对于解答结合能、核裂变/核聚变相关问题也必不可少，这些问题都依赖对核转变的理解。

- [实用电路 (AS)](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u12-overview/)
- [实用分压电路](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u12-practical-potential-divider-circuits/)

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