# 基尔霍夫定律

> A-Level 物理 · CIE 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-kirchhoff-s-laws/

本模块讲解直流电路分析的两条基尔霍夫基本定律，利用它们可以求解无法仅通过串并联规则化简的复杂电路。你将学习如何应用定律求解未知电流和电势差。

**先修:** [串并联电阻组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-resistors-in-series-and-parallel/); 电荷守恒和能量守恒基础

## 学习目标

- 表述基尔霍夫第一和第二定律
- 将基尔霍夫定律与电荷守恒和能量守恒联系起来
- 应用基尔霍夫定律求解复杂直流电路问题
- 解释计算得到的负电流值的含义

## 基尔霍夫第一定律（结点定则）

**基尔霍夫第一定律** — 流入结点的电流之和等于流出结点的电流之和。这是电荷守恒的直接推论：电荷不能在结点处被创造或消灭。

*记法:* \sum I_{in} = \sum I_{out}

*例:* 如果 3 A 和 2 A 流入结点，那么必然有 5 A 流出结点。

分析电路时，首先要给每个结点的所有电流标注假设方向。如果你选的方向错误，计算得到的电流会是负值，说明实际方向与假设相反。

**例题:** 在一个结点，电流 $I_1 = 2.0$ A 流入，$I_2 = 1.5$ A 流出。求第三个电流 $I_3$ 的大小和方向。

1. 应用基尔霍夫第一定律，规定流入结点的电流为正：
2. $$I_1 = I_2 + I_3$$
3. 整理方程求解 $I_3$：
4. $$I_3 = I_1 - I_2 = 2.0 - 1.5 = 0.5 \ \text{A}$$
5. 由于 $I_3$ 是正值，说明我们假设它流出结点是正确的。第三个电流大小为 0.5 A，方向流出结点。

> **考试提示:** 在结构化试题中，一定要说明最终电流的方向才能拿到满分。

*计算器:* allowed

## 基尔霍夫第二定律（回路定则）

**基尔霍夫第二定律** — 沿电路中任意闭合回路，电动势的总和等于回路中所有电阻电势差的总和。这是能量守恒的推论。

*记法:* \sum \varepsilon = \sum IR

*例:* 对于只有一个电池和一个电阻的单回路，该定律简化为 $\varepsilon = IR$。

符号约定在这里至关重要：沿回路绕行时，如果你从电池负极移动到正极，电动势取正值。如果你沿电流方向经过电阻，电势差取 $-IR$（负值）。

**例题:** 一个单回路包含一个 6.0 V 的电池，以及两个阻值为 $2.0 \ \Omega$ 和 $4.0 \ \Omega$ 的串联电阻。使用基尔霍夫第二定律求回路中的电流。

1. 从电池负极出发，顺时针绕行回路。
2. 应用基尔霍夫第二定律：电动势总和等于 IR 压降总和：
3. $$\varepsilon = I R_1 + I R_2$$
4. 代入已知数值：
5. $$6.0 = I (2.0 + 4.0) = 6I$$
6. 求解 I：
7. $$I = 1.0 \ \text{A}$$

> **tip**
>
> 每次解题都坚持使用相同的符号约定，避免本可以避免的符号错误。

*计算器:* allowed

## 求解复杂双回路电路

CIE 考试中大多数需要用到基尔霍夫定律的题目都是包含多个结点的双连通回路。求解这类问题时，你需要通过基尔霍夫第一和第二定律列出联立方程组，再求解未知电流。

1. 给所有电流标注，并在每个结点选定电流的假设方向
2. 为每个结点列出一个独立的基尔霍夫第一定律方程
3. 为每个闭合回路列出一个独立的基尔霍夫第二定律方程
4. 求解联立方程组
5. 解释负值的含义，得到实际电流方向

**例题:** 两个回路共用一个 $2 \ \Omega$ 电阻。回路 1 有一个 12 V 电池和一个 $1 \ \Omega$ 电阻。回路 2 有一个 6 V 电池和一个 $3 \ \Omega$ 电阻。求共用电阻中的电流大小。

1. 标注电流：回路 1 电流为 $I_1$，回路 2 电流为 $I_2$。根据基尔霍夫第一定律，共用电阻的总电流为 $I = I_1 + I_2$：
2. 对回路 1 列出基尔霍夫第二定律方程：
3. $$12 = 1I_1 + 2(I_1 + I_2) = 3I_1 + 2I_2$$
4. 对回路 2 列出基尔霍夫第二定律方程：
5. $$6 = 3I_2 + 2(I_1 + I_2) = 2I_1 + 5I_2$$
6. 求解联立方程：第一个方程乘 2，第二个方程乘 3，相减得到 $I_2 = -6/11 \approx -0.55$ A，进而得到 $I_1 \approx 4.36$ A：
7. 共用电阻的总电流为 $I = I_1 + I_2 \approx 3.8$ A。$I_2$ 为负值说明它的实际方向与我们的假设相反。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆两条定律的物理基础
  - 原因: 这个常见错误会在考官要求解释定律时丢失容易拿到的分数
  - 正确做法: 记住：KCL = 电荷守恒，KVL = 能量守恒
- **错误做法:** 忽略负电流值
  - 原因: 考生经常直接舍去负值，而没有正确解释其含义
  - 正确做法: 负值仅表示实际电流方向与你假设的方向相反
- **错误做法:** 回路绕行时符号约定不一致
  - 原因: 随意分配符号会导致最终结果错误
  - 正确做法: 始终使用相同约定：负极到正极的电动势取正，沿电流方向的 IR 取负
- **错误做法:** 列出过多不必要的独立方程
  - 原因: 多余方程是冗余的，还会在求解时引入错误
  - 正确做法: 对于 n 个独立回路，总共需要 n 个方程（n-1 个 KCL，n 个 KVL）

## 速查表

| 定律 | 数学形式 | 物理基础 | 核心提示 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一（结点）定律 | $\sum I_{in} = \sum I_{out}$ | 电荷守恒 | 负值代表方向相反 |
| 第二（回路）定律 | $\sum \varepsilon = \sum IR$ | 能量守恒 | 坚持一致的符号约定 |

## 下一步

基尔霍夫定律是所有电路分析的基础，支撑着你后续会学到的所有直流和交流电路主题。现在你已经理解如何应用这些规则，你可以继续学习更实用的电路概念，包括电池内阻和分压器，这些都是非常常见的考试考点，直接建立在本单元的基础之上。掌握基尔霍夫定律也能为你在 A2 物理中学习更高级的电路分析（包括交流阻抗和复杂网络问题）做好准备。

- [电源内阻](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-internal-resistance/)
- [串联与并联电阻组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-series-and-parallel-resistor-combinations/)
- [分压器](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-potential-divider/)

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