# 内阻

> CIE A-Level 物理学 · 直流电路
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-internal-resistance/

本子主题讲解电压源内阻的来源、内阻对路端电压的影响，以及CIE A-Level物理学直流电路考题的解题方法。

**先修:** [欧姆定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-ohms-law/); [电动势（e.m.f.）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-emf/); [基尔霍夫定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-kirchhoffs-laws/)

## 学习目标

- 解释电源内阻的来源
- 推导并运用关系式 $\textbackslashvarepsilon = V + Ir$
- 计算路端电势差和失电压
- 从实验V-I数据中确定电动势和内阻
- 解决涉及内阻的常见考题

## 什么是内阻？

所有电动势源（如电池、发电机、电源包）都存在一定内阻。内阻来自电源本身组成材料的电阻：对于化学电池，内阻就是电极之间电解质的电阻。当电流流过电源时，能量会在内阻中以热量的形式耗散，和外电阻的情况一样。

**内阻** — 电动势源内部材料的电阻，电流流过时会造成能量损失。

*记法:* $r$

*例:* 全新AA电池的内阻约为0.1 Ω到1 Ω，会随着电池老化而升高。

**例题:** 一节1.5 V AA电池的内阻为 $r = 0.4 \ \Omega$，接在阻值为 $2.6 \ \Omega$ 的外电阻上。计算电路中的电流大小，以及内阻两端的电压降。

1. 串联电路的总电阻等于外电阻 $R$ 与内阻 $r$ 之和：
2. $$R_{\text{total}} = R + r = 2.6 + 0.4 = 3.0 \ \Omega$$
3. 运用欧姆定律，电动势 $\textbackslashvarepsilon$ 等于总电压：
4. $$I = \frac{\textbackslashvarepsilon}{R_{\text{total}}} = \frac{1.5}{3.0} = 0.5 \ \text{A}$$
5. 内阻 $r$ 两端的电压降（即失电压）用欧姆定律计算：
6. $$V_r = Ir = 0.5 \times 0.4 = 0.2 \ \text{V}$$

*计算器:* allowed

## 电动势方程与失电压

我们可以用基尔霍夫第二定律推导内阻的核心方程：串联电路中，总电动势等于各部分电势降之和。当电流 $I$ 流过电源时，内阻上的电势降为 $Ir$，称为失电压。

**失电压** — 电流流过电源时，电源内阻两端的电势差，等于 $\textbackslashvarepsilon - V$。

*例:* 一辆汽车的12 V蓄电池内阻为0.1 Ω，启动时输出电流为100 A，失电压等于10 V，启动发动机时路端电压仅剩下2 V。

$$\textbackslashvarepsilon = V + Ir$$

**例题:** 一节电池的电动势为12 V，内阻未知。当它向电路输出2 A电流时，测得路端电压为11.4 V。计算该电池的内阻。

1. 首先整理核心电动势方程，计算失电压：
2. $$\text{Lost volts} = \textbackslashvarepsilon - V = 12 - 11.4 = 0.6 \ \text{V}$$
3. 失电压等于 $Ir$，因此整理方程求解 $r$：
4. $$r = \frac{\text{Lost volts}}{I} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \ \Omega$$

> **考试提示:** 只有当电路开路（无电流，$I=0$）时，电动势才等于路端电压。电流流动时，一定要考虑失电压。

*计算器:* allowed

## 电动势与内阻的实验测量

考试中常见的实验操作是：改变电源外接的负载电阻，记录多组路端电压 $V$ 和电流 $I$ 的数据。整理核心方程可以得到线性关系：

$$V = -rI + \textbackslashvarepsilon$$

该式符合 $y = mx + c$ 的形式，因此将 $V$ 作为纵轴、$I$ 作为横轴作图，可以得到：纵轴截距等于电动势 $\textbackslashvarepsilon$，斜率等于 $-r$，内阻等于斜率的绝对值。

**例题:** 某次实验得到两组数据：$I=0.2 \ \text{A}, V=2.18 \ \text{V}$ 和 $I=0.5 \ \text{A}, V=1.55 \ \text{V}$。计算该电池的电动势和内阻。

1. 将两组数据代入 $\textbackslashvarepsilon = V + Ir$，得到两个联立方程：
2. $$\textbackslashvarepsilon = 2.18 + 0.2r \\ \textbackslashvarepsilon = 1.55 + 0.5r$$
3. 令两个 $\textbackslashvarepsilon$ 表达式相等，求解 $r$：
4. $$2.18 + 0.2r = 1.55 + 0.5r \\ 0.63 = 0.3r \\ r = 2.1 \ \Omega$$
5. 将 $r$ 回代，求出 $\textbackslashvarepsilon$：
6. $$\textbackslashvarepsilon = 2.18 + (0.2 \times 2.1) = 2.6 \ \text{V}$$

> **考试提示:** 在解读斜率之前，一定要先将方程整理为 $y = mx + c$ 的形式，避免符号错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 假设路端电压始终等于电动势
  - 原因: 这只有在无电流流动（开路）时才成立。电流流动时，内阻会损耗电压。
  - 正确做法: 电流非零时，一定要用 $\textbackslashvarepsilon = V + Ir$ 计算失电压。
- **错误做法:** 将V-I图的斜率记为 $+r$，并将负值代入内阻计算
  - 原因: 方程 $V = -rI + \textbackslashvarepsilon$ 本身斜率就是负的
  - 正确做法: 内阻始终为正，因此取斜率的绝对值作为内阻大小。
- **错误做法:** 在公式 $\textbackslashvarepsilon = I(R + r)$ 中，将总电阻写为 $R - r$ 而非 $R + r$
  - 原因: 混淆了内阻是否计入电路总电阻
  - 正确做法: 内阻和外电路串联，因此总电阻是 $R$ 和 $r$ 之和。
- **错误做法:** 认为内阻是由电源外的连接导线造成的
  - 原因: 内阻是电压源本身的固有属性，和外部元件无关
  - 正确做法: 内阻来源于电源内部的材料（例如电池的电解质）。
- **错误做法:** 认为外电路可获得的功率是 $\textbackslashvarepsilon I$
  - 原因: 这个结果包含了内阻以热量形式损耗的功率
  - 正确做法: 外电路可获得功率是 $VI = \text\varepsilon I - I^2 r$，其中 $I^2 r$ 是内阻损耗的功率。

## 速查表

| 概念 | 公式/性质 | 考试要点 |
| --- | --- | --- |
| 内阻 | $r$ | 电压源内部的电阻 |
| 电动势 | $\text\varepsilon$ | V-I图的纵截距，开路路端电压 |
| 核心方程 | $\text\varepsilon = V + Ir = I(R + r)$ | $V$ = 路端电压，$Ir$ = 失电压 |
| 失电压 | $\text\varepsilon - V = Ir$ | 内阻两端的电势降 |
| V-I图关系 | $V = -rI + \text\varepsilon$ | $r = \|\text{gradient}\|$，纵截距 = $\text\varepsilon$ |
| 内阻损耗功率 | $P = I^2 r$ | 在电源内部以热量形式耗散 |

## 下一步

内阻是所有直流电路实际分析的基础概念，在CIE A-Level 9702试卷的选择题和结构化题中都经常考查。它是理解电源和负载之间功率传递（包括最大功率传输定理）的基础，也是实验分析类考题要求分析实验数据的核心主题。掌握本主题也能帮助你发现电路计算中未考虑电源内阻导致的错误。

- [粒子物理学 (AS)](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u11-overview/)
- [原子结构](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u11-atomic-structure/)
- [同位素](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u11-isotopes/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-internal-resistance/