# 测量不确定度

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-measurement-uncertainties/

本小节内容包括测量不确定度的类型、不同形式不确定度的计算方法，以及如何对计算物理量合成不确定度，这是CIE理论卷和实验卷都要求掌握的核心技能。

**先修:** [物理量与单位](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-physical-quantities-units/); [有效数字](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-significant-figures/)

## 学习目标

- 区分随机不确定度和系统不确定度
- 计算绝对、分数和百分比不确定度
- 对计算物理量合成不确定度
- 从图像误差棒求斜率的不确定度

## 不确定度的类型

所有实验测量都存在不确定度，来源于仪器或测量方法的局限性。不确定度分为两大类，二者的特性和降低方法各不相同。

**随机不确定度与系统不确定度** — 随机不确定度导致测量值在真实值附近分散，造成结果离散。可以通过多次测量取平均值来降低。系统不确定度导致所有测量值都向真实值的同一方向持续偏移，产生的偏差无法通过取平均值降低，只能通过改进实验方法消除。

*例:* 启动时读数就为0.2s的零误差秒表会引入系统不确定度；人启动/停止秒表的反应时间会引入随机不确定度。

**例题:** 判断下列不确定度分别是随机还是系统不确定度：(a) 估计直尺1mm刻度间读数的差异 (b) 所有温度读数都偏高1°C的校准误差温度计

1. 对于(a)：两次读数的刻度间估计值不同，不存在一致偏移，因此是随机不确定度。
2. 对于(b)：所有读数都向同一方向偏高1°C，因此是系统不确定度。

> **考试提示:** CIE经常考察如何降低每种不确定度——记住：只有随机不确定度可以通过取平均值降低。

## 绝对不确定度、分数不确定度和百分比不确定度

不确定度有三种常用表示形式，分别用于计算的不同阶段。

**不确定度类型** — - **绝对不确定度**：单位与$x$相同的误差范围，等于多次重复读数范围的一半，或模拟仪器的最小分度值。
- **分数不确定度**：无量纲比值 $\frac{\Delta x}{x}$
- **百分比不确定度**：$\frac{\Delta x}{x} \times 100\%$

*记法:* A measurement is written $x \pm \Delta x$, where $x$ is the measured value and $\Delta x$ is absolute uncertainty

**例题:** 一名学生4次测量电流，得到读数：1.2 A、1.5 A、1.3 A、1.4 A。求平均电流、绝对不确定度和百分比不确定度。

1. 计算平均电流：

   $$I = \frac{1.2 + 1.5 + 1.3 + 1.4}{4} = 1.35 \text{ A}$$
2. 求读数的范围：

   $$\text{Range} = 1.5 - 1.2 = 0.3 \text{ A}$$
3. 计算绝对不确定度，为范围的一半：

   $$\Delta I = \frac{0.3}{2} = 0.15 \approx 0.2 \text{ A}$$
4. 计算百分比不确定度：

   $$\text{Percentage uncertainty} = \frac{0.2}{1.35} \times 100 \approx 15\%$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 数字电流表显示电流精确到0.01 A，其绝对不确定度是多少？

   - 0.005 A
   - 0.01 A
   - 0.05 A

   *解析:* 对于数字仪器，绝对不确定度等于最小显示分度值。

## 合成不确定度

当你从多个测量值计算最终物理量时，需要根据所用的数学运算合成不确定度。合成测量值时不确定度总是增大，因此我们始终将不确定度相加。

1. 加法/减法：对于 $y = a \pm b$，将**绝对不确定度**相加：$\Delta y = \Delta a + \Delta b$
2. 乘法/除法：对于 $y = \frac{ab}{c}$，将**分数不确定度**相加：$\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$
3. 幂次：对于 $y = ax^n$，分数不确定度为 $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta a}{a} + n\frac{\Delta x}{x}$

**例题:** 正方体的边长为 $l = 5.0 \pm 0.2$ cm，计算表面积及其绝对不确定度。

1. 写出正方体表面积公式：

   $$A = 6l^2$$
2. 计算平均表面积：

   $$A = 6 \times (5.0)^2 = 150 \text{ cm}^2$$
3. 6是无不确定度的常数，因此应用幂次法则：

   $$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{\Delta l}{l} = 2 \times \frac{0.2}{5.0} = 0.08$$
4. 求绝对不确定度并写出最终结果：

   $$\Delta A = 0.08 \times 150 = 12 \text{ cm}^2 \implies A = 150 \pm 12 \text{ cm}^2$$

> **warning**
>
> 即使变量做除法也永远不要减去不确定度。无论运算符号是什么，所有不确定度都要相加。

## 图像中的不确定度

实验考题中，你经常需要用误差棒求最佳拟合线斜率和截距的不确定度。

**误差棒** — 穿过每个绘图点绘制的竖直或水平棒，范围从 $x - \Delta x$ 到 $x + \Delta x$，用于表示每次测量真实值的可能范围。

**例题:** 根据实验数据计算拟合直线斜率的不确定度。

1. 1. 绘制所有带误差棒的点，画出最佳拟合线并计算其斜率 $m_{best}$。
2. 2. 画出都能穿过所有误差棒的最陡和最平缓直线，得到 $m_{max}$ 和 $m_{min}$。
3. 3. 计算绝对不确定度：

   $$\Delta m = \frac{m_{max} - m_{min}}{2}$$

> **考试提示:** 如果题目要求你画出误差棒，即使误差很小你也必须画出才能得满分。

## 常见错误

- **错误做法:** 两个量相除时减去不确定度
  - 原因: 合成测量值时不确定度总是增大，因此所有不确定度都要相加
  - 正确做法: 无论乘法还是除法，都要相加分数不确定度，永远不要相减
- **错误做法:** 计算幂次项时忘记乘以幂次
  - 原因: 这是常见的考场错误，会导致不确定度计算偏小
  - 正确做法: 始终将分数不确定度乘以幂次，例如面积乘以2，体积乘以3
- **错误做法:** 认为取平均值可以降低系统不确定度
  - 原因: 系统不确定度是影响所有读数的一致偏差
  - 正确做法: 取平均值只能降低随机不确定度；系统不确定度需要通过校准或修正零误差消除
- **错误做法:** 将绝对不确定度取为重复读数的整个范围
  - 原因: 这会高估平均值的不确定度
  - 正确做法: 对于重复读数，绝对不确定度是读数范围的一半
- **错误做法:** 不确定度保留超过两位有效数字
  - 原因: 不确定度是估计值，额外的有效数字在考试中没有意义
  - 正确做法: 将所有不确定度修约为1或2位有效数字，始终向上修约

## 速查表

| 运算/类型 | 法则 |
| --- | --- |
| Addition/Subtraction $y = a \pm b$ | $\Delta y = \Delta a + \Delta b$ |
| Multiplication/Division $y = \frac{ab}{c}$ | $\frac{\Delta y}{y} = \sum \frac{\Delta a_i}{a_i}$ |
| Power $y = ax^n$ | $\frac{\Delta y}{y} = n\frac{\Delta x}{x}$ |
| 随机不确定度 | 多次测量取平均值降低 |
| 系统不确定度 | 校准/修正零误差消除 |
| 斜率不确定度 | $\Delta m = \frac{m_{max} - m_{min}}{2}$ |

## 下一步

测量不确定度是整个CIE A-Level物理课程的核心技能，从选择题到完整实验考核的每份试卷都会考察。你会在所有实验相关主题中应用不确定度计算，从运动学、力学到电学和波动。尽早掌握本小节内容能确保你不会在涉及实验数据的考题中丢失送分题，这类考题占整个资格考试总分的约15%。这些知识也构成了A2阶段要求的更高级实验数据分析技能的基础。

- [运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-overview/)
- [路程、位移、速率、速度和加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-distance-displacement-speed-velocity-and/)
- [运动的图像表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-graphical-representation-of-motion/)

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