# 速率常数计算

> 化学 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u20-rate-constant-calculations/

本模块讲解如何从实验数据、速率方程、积分速率定律和反应动力学图像计算速率常数 \(k\) 的数值和单位，这是CIE A-Level化学的核心考试考点。

**先修:** [反应级数和速率方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u20-rate-equations-order-reaction/); [一级反应的半衰期](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u20-first-order-reactions/)

## 学习目标

- 从初始速率数据计算速率常数 \(k\) 的数值和单位
- 利用半衰期和积分速率方程确定一级反应的 \(k\)
- 从常见动力学图像的斜率中提取 \(k\)
- 避免计算和书写 \(k\) 时的常见考试陷阱

## 从初始速率数据计算\(k\)并推导单位

**速率常数的单位** — \(k\)的单位取决于反应的总级数，推导方法是整理速率方程分离出\(k\)，然后代入浓度单位(mol dm⁻³)和速率单位(mol dm⁻³ s⁻¹)。

*例:* 对于零级反应，\(k\)的单位与速率相同：mol dm⁻³ s⁻¹

得到速率方程和实验初始速率数据后，你可以代入已知的速率和反应物浓度直接求解\(k\)。CIE考官总会为正确的单位单独给分，所以永远不要省略这一步。

**例题:** 对于反应 \(2A + B \rightarrow C\)，速率方程是 \(\text{rate} = k[A]^2[B]\)。当 \([A] = 0.1 \text{ mol dm}^{-3}\)， \([B] = 0.2 \text{ mol dm}^{-3}\)，初始速率是 \(4 \times 10^{-5} \text{ mol dm}^{-3} s^{-1}\)。计算\(k\)的数值和单位。

1. 整理速率方程分离出\(k\)：
2. $$k = \frac{\text{rate}}{[A]^2[B]}$$
3. 代入给定的数值：
4. $$k = \frac{4 \times 10^{-5}}{(0.1)^2(0.2)} = \frac{4 \times 10^{-5}}{0.002} = 0.02$$
5. 代入单位得到\(k\)的单位：
6. $$\text{Units} = \frac{\text{mol dm}^{-3} \text{s}^{-1}}{(\text{mol dm}^{-3})^2 (\text{mol dm}^{-3})} = \text{mol}^{-2} \text{dm}^6 \text{s}^{-1}$$
7. 最终答案：
8. $$k = 0.02 \text{ mol}^{-2} \text{dm}^6 \text{s}^{-1}$$

## 从半衰期计算一级反应的\(k\)

对于所有一级反应，半衰期是恒定的，与反应物浓度无关。这就给出了速率常数和半衰期之间简单直接的关系，这在CIE考试中非常常见。

**一级反应的半衰期-速率常数关系** — 对于任意一级反应，速率常数等于2的自然对数除以测得的反应物半衰期。

*记法:* k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}

*例:* 如果半衰期 = 120 s， \(k = 0.693 / 120 ≈ 5.8 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}\)

**例题:** 过氧化氢的一级分解反应在298 K下的半衰期为140 s。计算该反应的速率常数，并写出正确单位。

1. 写出一级反应中\(k\)和\(t_{1/2}\)的标准关系：
2. $$k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$
3. 代入 \(t_{1/2} = 140 \text{ s}\)：
4. $$k = \frac{0.693}{140} ≈ 0.00495$$
5. 一级反应速率常数的单位总是时间⁻¹，因此最终答案：
6. $$k = 4.95 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}$$

> **tip**
>
> 你也可以反向使用这个关系：如果已知\(k\)，可以通过\(t_{1/2} = \ln 2 / k\)计算\(t_{1/2}\)，这是常见的1-2分考题。

## 从动力学图像计算\(k\)

无论反应级数如何，正确绘制的动力学图像的斜率可以直接得到速率常数。斜率和\(k\)的关系取决于图像类型：

- 零级：\([A]\)对\(t\)作图 → 斜率 = \(-k\)
- 一级：速率对\([A]\)作图 → 斜率 = \(k\)
- 二级：速率对\([A]^2\)作图 → 斜率 = \(k\)

**例题:** 一级反应的速率-浓度图像为直线，斜率为0.025 min⁻¹。求\(k\)及其单位。

1. 对于一级反应，速率 = \(k[A]\)，符合直线方程\(y = mx\)，其中\(y = \text{速率}\)，\(x = [A]\)，\(m = k\)。
2. 图像的斜率等于\(k\)，斜率单位为min⁻¹，正好符合一级反应\(k\)的预期单位。
3. 最终答案：
4. $$k = 0.025 \text{ min}^{-1}$$

> **info**
>
> 计算斜率求\(k\)之前，一定要检查每个坐标轴的绘制内容——读错坐标轴是常见的错误来源。

## 从积分速率方程计算\(k\)

积分速率方程将t时刻的反应物浓度与初始浓度关联起来，你可以在已知时间下通过任意一次浓度测量计算\(k\)。在CIE A-Level考试中，一级积分速率方程是最常考查的内容。

**一级积分速率方程** — 其中\([A]_t\)是t时刻A的浓度，\([A]_0\)是初始浓度，\(k\)是速率常数。\(\ln[A]_t\)对t作图得到直线，斜率为\(-k\)。

*记法:* \ln[A]_t = -kt + \ln[A]_0

**例题:** 一级反应中A的初始浓度为0.10 mol dm⁻³。100 s后，A的浓度降至0.035 mol dm⁻³。计算\(k\)。

1. 从一级积分速率方程开始：
2. $$\ln[A]_t = -kt + \ln[A]_0$$
3. 整理分离出\(k\)：
4. $$k = \frac{\ln[A]_0 - \ln[A]_t}{t} = \frac{\ln\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)}{t}$$
5. 代入给定数值：
6. $$k = \frac{\ln\left(\frac{0.10}{0.035}\right)}{100} = \frac{\ln(2.857)}{100} ≈ \frac{1.05}{100} = 0.0105$$
7. 带单位的最终答案：
8. $$k = 1.05 \times 10^{-2} \text{ s}^{-1}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记写\(k\)的单位，或者单位与反应总级数不匹配
  - 原因: CIE总会为正确的单位单独给至少1分，所以即使你的数值正确，也会丢分
  - 正确做法: 始终要通过将浓度和速率单位代入整理后的\(k\)表达式推导单位
- **错误做法:** 计算一级反应速率常数时使用常用对数（以10为底）而非自然对数
  - 原因: 关系\(k = \ln 2 / t_{1/2}\)仅适用于自然对数；使用以10为底的对数会得到比正确值小2.3倍的结果
  - 正确做法: 计算所有一级反应速率常数时，始终确认你使用的是自然对数(ln)
- **错误做法:** 对非一级反应使用半衰期公式\(k = \ln 2 / t_{1/2}\)
  - 原因: 半衰期仅对一级反应是恒定的，因此该关系不适用于其他级数的反应
  - 正确做法: 仅对确定的一级反应使用半衰期法，其他级数使用初始速率代入法
- **错误做法:** 代入速率方程时，忘记对浓度项应用反应级数
  - 原因: 如果某反应物对反应是二级，你必须对其浓度取平方，不能直接使用浓度本身
  - 正确做法: 代入数值计算\(k\)之前，始终检查速率方程中每个反应物的级数

## 速查表

| 总反应级数 | \(k\)的单位 | 计算\(k\)的方法 |
| --- | --- | --- |
| 0 | mol dm⁻³ s⁻¹ | k = rate, gradient of [A] vs t = -k |
| 1 | 时间⁻¹ (e.g. s⁻¹) | k = ln2 / t₁/₂, gradient of rate vs [A] = k |
| 2 | mol⁻¹ dm³ s⁻¹ | Substitute into rate = k[A]² or k[A][B] |
| 3 | mol⁻² dm⁶ s⁻¹ | Substitute into full rate equation |

## 下一步

速率常数计算是反应动力学所有后续主题的基础，掌握这个子主题是在CIE A-Level考试中所有动力学题目拿到满分的必要条件。接下来，你将使用不同温度下测得的速率常数，通过阿伦尼乌斯方程计算反应的活化能，这是试卷4中常见的拓展回答题。理解\(k\)也有助于学习反应机理，在反应机理中速率常数用于确定决速步，比较不同反应路径的速率。扎实的\(k\)及其单位计算技能会让所有后续动力学主题更容易掌握。

- [过渡元素](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u21-overview/)
- [过渡金属的通性](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u21-general-properties-of-transition-metals/)
- [过渡金属离子的反应](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u21-reactions-of-transition-metal-ions/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9701-u20-rate-constant-calculations/