数制

CIE A-Level 计算机科学· 第一单元：信息表示· 15 分钟阅读

1. 位值表示法★☆☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

按位数制

一种数字表示系统，每个数字的值由数字本身及其相对于基数（小数点）点的位置共同决定。

例:

十进制使用10个数字（0-9），二进制使用2个数字（0-1）

对于任意基数 $b$ ，基数点左侧最右位是 $b^{0}$ （个位）。向左每移动一位，指数增加1。基数点向右每移动一位，指数减少1。

\text{Value} = \sum_{i=0}^{n} d_i \times b^i + \sum_{j=1}^{m} f_j \times b^{-j}

📐 例题

计算 $1011. 1_{2}$ 的十进制值

1
将每个数字对应到位值：
2
$(1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) + (1 \times 2^{-1})$
3
计算每一项： $8 + 0 + 2 + 1 + 0.5$
4
对所有项求和得到最终结果： $11.5$

2. 十进制整数转换为其他进制★★☆☆☆⏱ 5 min

将十进制整数转换为基数 $b$ ，使用反复除法：反复将该数除以 $b$ ，收集每次得到的余数，然后从后向前读取余数得到转换后的数。

📐 例题

将十进制数123转换为二进制

1
反复除以2并收集余数：
2
120 ÷ 2 = 61 余 1; 61 ÷ 2 = 30 余 1; 30 ÷ 2 = 15 余 0; 15 ÷ 2 = 7 余 1; 7 ÷ 2 = 3 余 1; 3 ÷ 2 = 1 余 1; 1 ÷ 2 = 0 余 1
3
从后向前读取余数： $111101 1_{2}$

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测试你的理解：

十进制数47的十六进制是多少？
- 2B
- 1F
- 31
- 2F
显示答案
2F —
47 ÷ 16 = 2 余 15。15用F表示，因此结果是2F，且 2 × 16 + 15 = 47。

3. 二进制与十六进制的相互转换★★☆☆☆⏱ 4 min

由于 $16 = 2^{4}$ ，十六进制数字和4位二进制组（称为半字节）之间存在直接的1:1映射。这使得两种进制之间的转换非常快捷。

📐 例题

将 $110101101 1_{2}$ 转换为十六进制

1
添加1个前导零使总位数能被4整除，然后从右向左分组为4位一组： $001101011011$
2
将每个半字节映射为对应的十六进制数字：0011 = 3，0101 = 5，1011 = B
3
结果： $35 B_{16}$

📐 例题

将 $2 A . C_{16}$ 转换为二进制

1
将每个十六进制数字映射为4位二进制：2 = 0010，A = 1010，C = 1100
2
连接所有位得到： $00101010.110 0_{2}$
3
去掉多余的前导/后导零得到简化结果： $101010.1 1_{2}$

Exam tip:

始终使用这种直接分组法，不要通过十进制中转，这能在考试中节省大量时间。

4. 十进制小数转换为其他进制★★★☆☆⏱ 6 min

混合数的整数部分使用和之前相同的除法。对于基数点后的小数部分，使用反复乘法：反复将小数部分乘以 $b$ ，收集结果的整数部分，然后从前向后读取整数部分。当小数部分变为0或达到要求的精度时停止。

📐 例题

将十进制小数0.625转换为二进制

1
从小数部分0.625开始：
2
0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 = 1，新小数部分 = 0.25
3
0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 = 0，新小数部分 = 0.5
4
0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 = 1，新小数部分 = 0 → 停止
5
从前向后读取整数部分得到： $0.10 1_{2}$

5. 常见陷阱

错误做法:

将十进制整数转换为其他进制时，按收集顺序读取余数

原因:

第一个得到的余数是最低位（最右侧）数字，因此必须反转顺序

正确做法:

从最后得到的余数向第一个收集的余数读取，得到正确的数字顺序

错误做法:

将十进制小数转换为其他进制时反转数字顺序

原因:

第一个得到的整数部分是小数部分的最高位（最左侧）数字，因此顺序保持不变

正确做法:

将整数部分按先得到后得到的顺序写出，得到小数结果

错误做法:

进行十六进制转换分组二进制数字时，忘记添加前导/后导零

原因:

如果总位数不是4的倍数，不补零分组会得到错误的半字节值

正确做法:

给整数部分添加前导零，给小数部分添加后导零，使每个分组恰好为4位

错误做法:

给基数点后的数字使用正指数

原因:

基数点后的数字表示基数的分数，因此它们的位值使用负指数

正确做法:

基数点后的第一个数字使用从-1开始的指数

错误做法:

在十六进制中将10-15写为两个数字

原因:

十六进制每个位值需要一个单独的数字，因此10-15必须用A-F表示

正确做法:

对应关系：十进制10 = A，11 = B，12 = C，13 = D，14 = E，15 = F，每个数字对应一个字符

6. 速查表

转换类型	方法
任意进制 → 十进制	每个数字乘以基数^位置，对所有项求和
十进制整数 → 基数b	反复除以b，从后向前读取余数
十进制小数 → 基数b	反复乘以b，从前向后读取整数部分
二进制 → 十六进制	分组为4位半字节，1:1映射为十六进制数字
十六进制 → 二进制	每个十六进制数字映射为4位二进制，连接所有位

7. 常见问题

我需要学习分数的进制转换吗？

需要，CIE 9618考试经常考察不同进制间分数的转换，因此你必须掌握小数部分的乘法转换法。

为什么计算机科学中要使用十六进制？

十六进制是二进制数据的一种简洁、易读的表示方式：1位十六进制数字等于4位二进制，因此1字节对应2位十六进制数字，比8位二进制易读得多。它常用于表示内存地址和颜色代码。

我需要给二进制数添加前导零吗？

只有题目指定了固定位数（例如8位二进制）时才需要添加前导零。请始终遵循题目的要求。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
十进制转二进制
2023 · 1
二进制转十六进制
2021 · 1
十进制小数转二进制

深入阅读

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下一步

数制是计算机科学中所有信息表示的基础构件。掌握进制之间的转换是理解几乎所有后续主题的前提，从二进制算术、负数表示到内存寻址和字符编码。该主题在CIE 9618的试卷1中持续考察，通常作为第一题来测试核心基础技能。接下来，你将在此知识基础上学习不同类型的数据（有符号整数、浮点数、文本）如何用二进制表示。