整数的二进制表示

CIE A-Level 计算机科学· 第1单元信息表示，主题2· 25 分钟阅读

1. 无符号二进制整数★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

无符号二进制整数

n-bit unsigned

非负整数的表示方式，每个位对应2的幂次权重，最右侧最低有效位的权重为 $2^{0}$ 。

例:

4位无符号整数可表示0到15

要将无符号二进制数转换为十进制，将每个位乘以对应权重后求和。要将十进制转换为无符号二进制，重复除以2、收集余数，再将余数顺序反转即可。

📐 例题

将5位无符号二进制 $1011 0_{2}$ 转换为十进制

1
从最右侧开始，为每个位标注对应权重：
2
$\text{Bit}: 1 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \\ \text{Weight}: 2^4 \quad 2^3 \quad 2^2 \quad 2^1 \quad 2^0 = 16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1$
3
每个位乘以对应权重后求和：
4
$(1 \times 16) + (0 \times 8) + (1 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1) = 22$

Exam tip:

始终从最右侧的0开始计数位位置，不要从1开始，避免权重计算错误。

2. 无符号二进制整数的取值范围★☆☆☆☆⏱ 8 min

对于n位无符号二进制，每个位组合都对应一个唯一的非负整数。最小值为0（所有位都是0），最大值出现在所有位都是1时。

📘 定义

n位无符号二进制的取值范围

总不同值个数 = $2^{n}$ 。取值范围是 $0$ 到 $2^{n} - 1$ （闭区间）。

📐 例题

求6位无符号二进制整数的取值范围，它可以存储多少个不同的值？

1
n=6位，计算总不同值个数：
2
$2^n = 2^6 = 64$
3
最大值等于总个数减1，因为我们从0开始计数：
4
$\text{Minimum} = 0, \quad \text{Maximum} = 64 - 1 = 63$
5
最终结果：6位无符号整数可存储64个不同值，范围从0到63。

Exam tip:

CIE经常考察最大值，不是总个数——永远记住要给 $2^{n}$ 减1。

3. 符号二进制：二进制补码★★☆☆☆⏱ 15 min

CIE 9618仅考察符号二进制整数的补码表示法，它可以同时表示正整数和负整数。最左侧（最高有效位）权重为负，其余所有位权重为正。

📘 定义

补码符号整数

n-bit two's complement

符号二进制表示法，其中最左侧位的权重为 $- 2^{n - 1}$ ，其余所有位遵循标准无符号权重规则。该表示法简化了二进制运算。

📐 例题

将5位补码 $1101 0_{2}$ 转换为十进制

1
计算最左侧位的负权重：
2
$n=5, \quad \text{Leftmost weight} = -2^{5-1} = -16$
3
列出所有位及其对应权重：
4
$\text{Bit}: 1 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \\ \text{Weight}: -16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1$
5
对加权后的位求和得到最终十进制值：
6
$(1 \times -16) + (1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1) = -6$

Exam tip:

永远不要忘记最高位的负权重——这是补码转换中最常见的错误。

4. 补码整数的取值范围★★☆☆☆⏱ 10 min

补码中会预留一个位表示符号，因此取值范围偏移后可以包含负值。对于相同位长，总不同值个数仍然是 $2^{n}$ ，和无符号表示相同。

📘 定义

n位补码的取值范围

最小（最负）值 = $- 2^{n - 1}$ ，最大（最正）值 = $2^{n - 1} - 1$ ，总共有 $2^{n}$ 个不同值。

📐 例题

8位补码符号整数的取值范围是什么？

1
n=8位，使用范围公式：
2
$\text{Minimum} = -2^{n-1} = -2^{7} = -128$
3
$\text{Maximum} = 2^{n-1} - 1 = 2^7 - 1 = 127$
4
最终范围：8位补码可表示从-128到127闭区间的所有整数，总共有256个不同值。

5. 常见陷阱

错误做法:

将n位无符号二进制的最大值记为 $2^{n}$

原因:

范围从0开始，因此最大值比总可能位组合数少1

正确做法:

n位无符号二进制的最大值是 $2^{n} - 1$

错误做法:

将8位补码的范围记为-127到128

原因:

最小值是 $- 2^{n - 1}$ ，最大值是 $2^{n - 1} - 1$ ，因此负范围比正范围多一个值

正确做法:

8位补码的范围是 $- 128 \leq x \leq 127$

错误做法:

转换补码时给最高位赋予正权重

原因:

补码的核心设计就是用负权重的最高位来表示负值

正确做法:

始终将n位补码的最左侧位乘以 $- 2^{n - 1}$

错误做法:

计算权重时从1而不是0开始计数位位置

原因:

最右侧位的权重是 $2^{0}$ ，因此所有位位置偏移1会导致每个位的权重都错误

正确做法:

从最右侧最低有效位的0开始计数位位置

错误做法:

声称4位无符号整数可表示1到16共16个值

原因:

0是有效的整数，需要被表示，因此无符号二进制的范围永远从0开始

正确做法:

4位无符号整数范围是0到15，总共有16个不同值

6. 速查表

表示方式	总不同值个数	最小值	最大值
n位无符号	$2^{n}$	$0$	$2^{n} - 1$
4位无符号	16	$0$	$15$
8位无符号	256	$0$	$255$
n位补码	$2^{n}$	$- 2^{n - 1}$	$2^{n - 1} - 1$
4位补码	16	$- 8$	$7$
8位补码	256	$- 128$	$127$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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二进制整数表示是计算机系统中所有数据存储的基础概念，信息表示的所有后续主题都建立在该知识之上。理解位长和取值范围对于二进制运算、溢出错误、内存寻址，以及表示分数、文本、图像、声音等其他数据类型至关重要。掌握本子主题会让更高级的数制表示概念更容易学习，并且几乎每一次CIE 9618第1卷考试都至少会有一道考察该内容的题目。