非参数检验

CIE A-Level 进阶数学· 15 分钟阅读

1. 非参数检验的适用场景★★☆☆☆⏱ 3 min

非参数（无分布）检验不要求总体服从特定的已知分布。当参数检验所需的假设不满足时，非参数检验是合适的选择。

📘 定义

非参数检验

不对抽样总体的分布形状或参数做任何假设的假设检验。

例:

适用于小样本、总体严重偏斜时对总体中位数的检验。

数据为有序数据（仅排序，不是连续数值）
已知总体分布非正态
样本量太小，无法验证正态性
检验关于总体中位数而非均值的命题

📐 例题

一名研究者想要检验某城镇的年收入中位数是否大于$50,000。收入分布严重右偏，样本量为7。是否应该使用非参数检验？

1
检验针对均值的参数t检验的假设：
2
总体分布严重偏斜，因此正态性假设不满足。小样本下中心极限定理不适用。
3
该命题针对中位数，而非均值。
4
结论：是的，此处适合使用非参数检验。

2. 符号检验★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

符号检验

$S$ = number of positive signs, $n$ = number of non-zero differences

一种简单的非参数检验，用于检验总体中位数或配对数据的中位数差。

例:

检验顾客满意度中位数是否高于3/5。

该检验的原理是计算每个观测值与原假设中位数的差值：大于原中位数的差值记为 $+$ 号，小于的记为 $-$ 号，等于的差值舍去。原假设下， $S \sim B (n, 0.5)$ 。

📐 例题

在5%显著性水平下检验兔子体重的中位数是否大于1.5kg。8只兔子的体重样本为：[1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9]

1
写出假设： $H_{0} : \tilde{μ} = 1.5$ ， $H_{1} : \tilde{μ} > 1.5$ ，其中 $\tilde{μ}$ 为总体中位数。
2
计算差值和符号：1个零差值（舍去），3个负差值，4个正差值。 $n = 7$ ， $S = 4$ 。
3
原假设下， $S \sim B (7, 0.5)$ ，计算得 $P (S \geq 4) = 0.5$ 。
4
与显著性水平比较： $0.5 > 0.05$ 。
5
结论：没有足够的证据拒绝 $H_{0}$ ，无法得出体重中位数大于1.5kg的结论。

3. Wilcoxon符号秩检验★★★☆☆⏱ 4 min

当差值近似对称时，Wilcoxon符号秩检验是比符号检验功效更高的替代方法，适用于配对数据或单样本中位数检验。它不仅考虑差值的符号，还考虑差值的大小。

📘 定义

Wilcoxon符号秩检验

用于配对数据中位数差的非参数检验，利用差值大小的秩计算检验统计量。

例:

按地块配对，检验新肥料是否比旧肥料提高作物产量中位数。

📐 例题

6个配对观测的差值中，正差值的秩为2, 3, 5, 6，负差值的秩为1, 4。计算检验统计量 $T_{+}$ ，并进行5%显著性水平的单侧检验，临界值为1。

1
对所有正差值的秩求和得到 $T_{+}$ ： $T_{+} = 2 + 3 + 5 + 6 = 16$ 。
2
CIE考试的拒绝规则：若 $T_{+} \leq$ 临界值，则拒绝 $H_{0}$ 。
3
比较： $16 > 1$ ，因此我们不拒绝原假设。
4
结论：在5%显著性水平下，没有足够的证据表明中位数差大于零。

4. Mann-Whitney U检验★★★★☆⏱ 4 min

Mann-Whitney U检验是非配对双样本t检验的非参数替代方法，用于检验两个独立样本的中位数差异。

📘 定义

Mann-Whitney U检验

For sample sizes $n_{1}, n_{2}$ , $U_{1} = R_{1} - \frac{n _{1} ( n _{1} + 1 )}{2}$ , $U_{2} = n_{1} n_{2} - U_{1}$ , $U = min (U_{1}, U_{2})$

检验两个独立样本中位数差异的非参数检验。

📐 例题

两个独立样本的容量为 $n_{1} = 4$ ， $n_{2} = 5$ 。样本1的秩和为 $R_{1} = 14$ 。计算检验统计量U，检验为5%显著性水平的双侧检验，临界值为2。

1
用公式计算 $U_{1}$ ： $U_{1} = R_{1} - \frac{n _{1} ( n _{1} + 1 )}{2} = 14 - \frac{4 \times 5}{2} = 14 - 10 = 4$ 。
2
计算 $U_{2} = n_{1} n_{2} - U_{1} = (4 \times 5) - 4 = 20 - 4 = 16$ 。
3
检验统计量取 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 中的较小值： $U = min (4, 16) = 4$ 。
4
若 $U \leq$ 临界值则拒绝 $H_{0}$ ： $4 > 2$ ，因此不拒绝 $H_{0}$ 。
5
结论：在5%显著性水平下，两个总体中位数没有显著差异。

5. 常见陷阱

错误做法:

满足参数检验假设时使用非参数检验

原因:

非参数检验的统计功效低于对应的参数检验，因此更有可能遗漏真实存在的效应。

正确做法:

仅当参数假设明显不满足，或数据为有序数据时，才使用非参数检验。

错误做法:

在符号检验或符号秩检验中保留零差值计入样本量n

原因:

零差值无法提供中位数偏离原假设值的任何信息，因此必须排除。

正确做法:

舍去所有零差值，计算检验统计量前根据舍去的数量减少n的值。

错误做法:

Wilcoxon或Mann-Whitney检验中，检验统计量大于临界值时拒绝原假设

原因:

在CIE 9231的所有基于秩的非参数检验中，检验统计量越小，反对原假设的证据越强。

正确做法:

两种检验中，若检验统计量 $\leq$ 临界值，则一定拒绝 $H_{0}$ 。

错误做法:

差值对称时使用符号检验而非Wilcoxon符号秩检验

原因:

符号检验仅利用差值的方向，不利用大小，因此对称条件下它的功效低于Wilcoxon检验。

正确做法:

配对数据差值近似对称时，使用Wilcoxon符号秩检验。

错误做法:

对结（相同数值）分配不同秩而非平均秩

原因:

错误的排序会导致检验统计量错误，进而得出关于原假设的错误结论。

正确做法:

对所有相同数值分配对应秩的平均值，然后按常规步骤进行检验。

6. 速查表

检验名称	适用场景	检验统计量	拒绝规则
符号检验	单总体中位数 / 配对中位数差	$S$ = 正差值的数量	Reject $H_{0}$ if p-value $\leq α$
Wilcoxon符号秩检验	配对中位数差（差值对称）	$T_{+}$ = 正差值的秩和	Reject $H_{0}$ if $T_{+} \leq T_{cr i t}$
Mann-Whitney U检验	两个独立样本，中位数差异	$U = min (U_{1}, U_{2})$	Reject $H_{0}$ if $U \leq U_{cr i t}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 2
Mann-Whitney U检验题目
2023 · 2
Wilcoxon符号秩检验题目
2021 · 2
说明使用非参数检验的合理性

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非参数检验填补了假设检验工具包中的关键空白，让你能够在参数检验的严格假设不满足时回答研究问题。在CIE 9231考试中，你经常会被要求说明使用非参数检验的合理性，并完成完整的检验计算，因此练习排序和检验统计量计算非常关键。你在这里学到的秩概念也是你后续学习其他非参数方法的基础。这个子主题和你已经掌握的核心假设检验概念联系紧密，因此复习那些概念可以帮助你巩固对非参数检验的理解。