# 非参数检验

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶概率与统计 第4单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-non-parametric-tests/

当参数检验的前提假设（如正态性）不满足时，需要使用非参数（无分布）检验。本指南涵盖CIE 9231要求的三种常见非参数检验，包含例题解析和考试常见误区。

**先修:** [参数假设检验基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-parametric-hypothesis-testing/); [二项概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-binomial-distributions/)

## 学习目标

- 区分参数与非参数假设检验
- 判断非参数检验的适用场景
- 正确应用符号检验、Wilcoxon符号秩检验和Mann-Whitney U检验
- 结合情境解读非参数检验的结果

## 非参数检验的适用场景

非参数（无分布）检验不要求总体服从特定的已知分布。当参数检验所需的假设不满足时，非参数检验是合适的选择。

**非参数检验** — 不对抽样总体的分布形状或参数做任何假设的假设检验。

*例:* 适用于小样本、总体严重偏斜时对总体中位数的检验。

> **tip**
>
> 如果满足参数检验的假设，参数检验的统计功效更高。仅当假设不满足或数据为有序数据时，才使用非参数检验。

- 数据为有序数据（仅排序，不是连续数值）
- 已知总体分布非正态
- 样本量太小，无法验证正态性
- 检验关于总体中位数而非均值的命题

**例题:** 一名研究者想要检验某城镇的年收入中位数是否大于\$50,000。收入分布严重右偏，样本量为7。是否应该使用非参数检验？

1. 检验针对均值的参数t检验的假设：
2. 总体分布严重偏斜，因此正态性假设不满足。小样本下中心极限定理不适用。
3. 该命题针对中位数，而非均值。
4. 结论：是的，此处适合使用非参数检验。

## 符号检验

**符号检验** — 一种简单的非参数检验，用于检验总体中位数或配对数据的中位数差。

*记法:* $S$ = number of positive signs, $n$ = number of non-zero differences

*例:* 检验顾客满意度中位数是否高于3/5。

该检验的原理是计算每个观测值与原假设中位数的差值：大于原中位数的差值记为$+$号，小于的记为$-$号，等于的差值舍去。原假设下，$S \sim B(n, 0.5)$。

**例题:** 在5%显著性水平下检验兔子体重的中位数是否大于1.5kg。8只兔子的体重样本为：[1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9]

1. 写出假设：$H_0: \tilde{\mu} = 1.5$，$H_1: \tilde{\mu} > 1.5$，其中$\tilde{\mu}$为总体中位数。
2. 计算差值和符号：1个零差值（舍去），3个负差值，4个正差值。$n=7$，$S=4$。
3. 原假设下，$S \sim B(7, 0.5)$，计算得$P(S \geq 4) = 0.5$。
4. 与显著性水平比较：$0.5 > 0.05$。
5. 结论：没有足够的证据拒绝$H_0$，无法得出体重中位数大于1.5kg的结论。

## Wilcoxon符号秩检验

当差值近似对称时，Wilcoxon符号秩检验是比符号检验功效更高的替代方法，适用于配对数据或单样本中位数检验。它不仅考虑差值的符号，还考虑差值的大小。

**Wilcoxon符号秩检验** — 用于配对数据中位数差的非参数检验，利用差值大小的秩计算检验统计量。

*例:* 按地块配对，检验新肥料是否比旧肥料提高作物产量中位数。

**例题:** 6个配对观测的差值中，正差值的秩为2, 3, 5, 6，负差值的秩为1, 4。计算检验统计量$T_+$，并进行5%显著性水平的单侧检验，临界值为1。

1. 对所有正差值的秩求和得到$T_+$：$T_+ = 2 + 3 + 5 + 6 = 16$。
2. CIE考试的拒绝规则：若$T_+ \leq$临界值，则拒绝$H_0$。
3. 比较：$16 > 1$，因此我们不拒绝原假设。
4. 结论：在5%显著性水平下，没有足够的证据表明中位数差大于零。

## Mann-Whitney U检验

Mann-Whitney U检验是非配对双样本t检验的非参数替代方法，用于检验两个独立样本的中位数差异。

**Mann-Whitney U检验** — 检验两个独立样本中位数差异的非参数检验。

*记法:* For sample sizes $n_1, n_2$, $U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}$, $U_2 = n_1n_2 - U_1$, $U = \min(U_1, U_2)$

**例题:** 两个独立样本的容量为$n_1=4$，$n_2=5$。样本1的秩和为$R_1 = 14$。计算检验统计量U，检验为5%显著性水平的双侧检验，临界值为2。

1. 用公式计算$U_1$：$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2} = 14 - \frac{4 \times 5}{2} = 14 - 10 = 4$。
2. 计算$U_2 = n_1n_2 - U_1 = (4 \times 5) - 4 = 20 - 4 = 16$。
3. 检验统计量取$U_1$和$U_2$中的较小值：$U = \min(4, 16) = 4$。
4. 若$U \leq$临界值则拒绝$H_0$：$4 > 2$，因此不拒绝$H_0$。
5. 结论：在5%显著性水平下，两个总体中位数没有显著差异。

## 常见错误

- **错误做法:** 满足参数检验假设时使用非参数检验
  - 原因: 非参数检验的统计功效低于对应的参数检验，因此更有可能遗漏真实存在的效应。
  - 正确做法: 仅当参数假设明显不满足，或数据为有序数据时，才使用非参数检验。
- **错误做法:** 在符号检验或符号秩检验中保留零差值计入样本量n
  - 原因: 零差值无法提供中位数偏离原假设值的任何信息，因此必须排除。
  - 正确做法: 舍去所有零差值，计算检验统计量前根据舍去的数量减少n的值。
- **错误做法:** Wilcoxon或Mann-Whitney检验中，检验统计量大于临界值时拒绝原假设
  - 原因: 在CIE 9231的所有基于秩的非参数检验中，检验统计量越小，反对原假设的证据越强。
  - 正确做法: 两种检验中，若检验统计量$\leq$临界值，则一定拒绝$H_0$。
- **错误做法:** 差值对称时使用符号检验而非Wilcoxon符号秩检验
  - 原因: 符号检验仅利用差值的方向，不利用大小，因此对称条件下它的功效低于Wilcoxon检验。
  - 正确做法: 配对数据差值近似对称时，使用Wilcoxon符号秩检验。
- **错误做法:** 对结（相同数值）分配不同秩而非平均秩
  - 原因: 错误的排序会导致检验统计量错误，进而得出关于原假设的错误结论。
  - 正确做法: 对所有相同数值分配对应秩的平均值，然后按常规步骤进行检验。

## 速查表

| 检验名称 | 适用场景 | 检验统计量 | 拒绝规则 |
| --- | --- | --- | --- |
| 符号检验 | 单总体中位数 / 配对中位数差 | $S$ = 正差值的数量 | Reject $H_0$ if p-value $\leq \alpha$ |
| Wilcoxon符号秩检验 | 配对中位数差（差值对称） | $T_+$ = 正差值的秩和 | Reject $H_0$ if $T_+ \leq T_{crit}$ |
| Mann-Whitney U检验 | 两个独立样本，中位数差异 | $U = \min(U_1, U_2)$ | Reject $H_0$ if $U \leq U_{crit}$ |

## 下一步

非参数检验填补了假设检验工具包中的关键空白，让你能够在参数检验的严格假设不满足时回答研究问题。在CIE 9231考试中，你经常会被要求说明使用非参数检验的合理性，并完成完整的检验计算，因此练习排序和检验统计量计算非常关键。你在这里学到的秩概念也是你后续学习其他非参数方法的基础。这个子主题和你已经掌握的核心假设检验概念联系紧密，因此复习那些概念可以帮助你巩固对非参数检验的理解。

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