# 生成函数

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶概率与统计 第4单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-generating-functions/

本模块讲解概率母函数和矩母函数，它们是求独立随机变量和的矩与分布的核心工具，在CIE 9231试卷2中频繁考察。

**先修:** [离散随机变量、期望与方差](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-discrete-random-variables/); 常见离散分布（二项分布、泊松分布、几何分布）

## 学习目标

- 定义随机变量的概率母函数（PGF）和矩母函数（MGF）
- 计算常见离散和连续分布的PGF和MGF
- 使用PGF/MGF求期望、方差和高阶矩
- 应用乘积性质求独立随机变量和的分布

## 概率母函数：定义与核心性质

**概率母函数** — 对于任意非负整数值离散随机变量$X$，PGF是$t^X$的期望，在级数收敛的所有$t$处有效。$t^x$的系数等于$P(X=x)$。

*记法:* $G_X(t) = \mathbb{E}(t^X)$

*例:* 若$X \sim \text{伯努利}(p)$，$G_X(t) = (1-p) + pt$

我们可以直接通过PGF的导数求期望和方差，无需对$X$所有可能值求和：

$$G_X'(1) = \mathbb{E}(X) \\
G_X''(1) = \mathbb{E}[X(X-1)] = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X) \\
\text{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - \left[G_X'(1)\right]^2$$

**例题:** 离散随机变量$X$的PGF为$G_X(t) = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{4}t^3$，求$\mathbb{E}(X)$和$\text{Var}(X)$。

1. 计算一阶导数并在$t=1$处求值：
2. $$G_X'(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}t + \frac{3}{4}t^2 \\
G_X'(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \\
\mathbb{E}(X) = \frac{7}{4} = 1.75$$
3. 计算二阶导数并在$t=1$处求值：
4. $$G_X''(t) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}t \\
G_X''(1) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$$
5. 代入方差公式：
6. $$\text{Var}(X) = 2 + \frac{7}{4} - \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{32 + 28 - 49}{16} = \frac{11}{16} = 0.6875$$

> **考试提示:** 求矩时一定要在$t=1$处计算PGF的导数，常见错误是误在$t=0$处求值。

## 常见离散分布的概率母函数

CIE 9231要求你能够识别或推导所有标准离散分布的PGF，下表列出了标准结果：

| 分布 | 概率质量函数 | 概率母函数 |
| --- | --- | --- |
| 二项($n,p$) | $\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$ | $(1-p + pt)^n$ |
| 泊松($\lambda$) | $\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ | $e^{\lambda(t-1)}$ |
| 几何($p$) (首次成功前试验数) | $(1-p)^{x-1}p$ | $\frac{pt}{1 - (1-p)t}$ |
| 负二项($r,p$) | $\binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}$ | $\left(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\right)^r$ |

**例题:** 推导参数为$\lambda$的泊松分布的PGF，然后根据PGF求$\mathbb{E}(X)$。

1. 从PGF的定义出发：
2. $$G_X(t) = \mathbb{E}(t^X) = \sum_{x=0}^\infty t^x \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
3. 提出常数项$e^{-\lambda}$：
4. $$G_X(t) = e^{-\lambda} \sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda t)^x}{x!}$$
5. 使用泰勒展开式$e^y = \sum_{x=0}^\infty \frac{y^x}{x!}$：
6. $$G_X(t) = e^{-\lambda} e^{\lambda t} = e^{\lambda(t-1)}$$
7. 求一阶导数并在$t=1$处求值：
8. $$G_X'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)} \implies G_X'(1) = \lambda = \mathbb{E}(X)$$

## 独立随机变量的和

PGF（和MGF）最有用的性质是：独立随机变量和的母函数等于各随机变量母函数的乘积。这避免了对概率质量函数进行繁琐的卷积计算。

**独立和的乘积性质** — 若$X_1, X_2, ..., X_n$是独立离散随机变量，则$S = X_1 + X_2 + ... + X_n$的PGF为$G_S(t) = \prod_{i=1}^n G_{X_i}(t)$。该规则同样适用于MGF。

**例题:** 已知独立随机变量$X \sim \text{泊松}(\lambda)$，$Y \sim \text{泊松}(\mu)$，证明$X+Y \sim \text{泊松}(\lambda+\mu)$。

1. 写出$X$和$Y$的PGF：
2. $$G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}, \quad G_Y(t) = e^{\mu(t-1)}$$
3. 对独立变量使用乘积性质：
4. $$G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) = e^{\lambda(t-1)} e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda+\mu)(t-1)}$$
5. 该PGF与参数为$\lambda+\mu$的泊松分布的PGF一致。由于PGF唯一确定离散分布，因此$X+Y \sim \text{泊松}(\lambda+\mu)$。

> **考试提示:** 千万不要对相关随机变量使用乘积法则。该法则成立是因为独立性保证了$\mathbb{E}(AB) = \mathbb{E}(A)\mathbb{E}(B)$，这对相关变量不成立。

## 矩母函数

**矩母函数** — 适用于离散和连续随机变量的母函数。在$t=0$处求值的$n$阶导数给出$n$阶矩$\mathbb{E}(X^n)$。

*记法:* $M_X(t) = \mathbb{E}(e^{tX})$

MGF与PGF有相同的乘积性质：对于独立随机变量，和的MGF等于各MGF的乘积。与PGF类似，MGF唯一确定概率分布。

**例题:** 已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求$X$的MGF并以此验证$\mathbb{E}(X) = \mu$。

1. 从连续分布MGF的定义出发：
2. $$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)} dx$$
3. 对指数配方后化简积分得到标准结果：
4. $$M_X(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2}$$
5. 对$t$求一阶导：
6. $$M_X'(t) = (\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2}$$
7. 在$t=0$处求值得到期望：
8. $$M_X'(0) = (\mu + 0) e^0 = \mu = \mathbb{E}(X)$$

## 常见错误

- **错误做法:** 求期望时在$t=0$而非$t=1$处计算PGF导数
  - 原因: PGF定义为$G(t) = \mathbb{E}(t^X)$，因此只有在$t=1$处导数才给出矩。$t=0$处仅能得到$P(X=0)$。
  - 正确做法: 求期望/方差时一定要在$t=1$处计算PGF导数。
- **错误做法:** 对相关随机变量的PGF/MGF使用乘积法则
  - 原因: 乘积法则依赖性质$\mathbb{E}(AB) = \mathbb{E}(A)\mathbb{E}(B)$，该性质仅对独立变量成立。
  - 正确做法: 相乘母函数前先确认变量是独立的。
- **错误做法:** 在PGF的方差公式中遗漏$+ G'(1)$项
  - 原因: $G''(1) = \mathbb{E}[X(X-1)] = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)$，因此必须加回$\mathbb{E}(X)$才能得到$\mathbb{E}(X^2)$。
  - 正确做法: 使用完整公式：$\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$。
- **错误做法:** 仅因为两个分布期望和方差相等就声称分布相同
  - 原因: 许多不同分布可以有相同的前两阶矩。只有PGF/MGF匹配才能证明分布相等。
  - 正确做法: 始终需要证明完整PGF/MGF与目标分布匹配才能确认分布相同。
- **错误做法:** 使用错误的几何分布PGF（参数化错误）
  - 原因: CIE使用'首次成功前的试验次数'参数化，而非'首次成功前的失败次数'版本。
  - 正确做法: 记住CIE标准几何分布PGF：$G(t) = \frac{pt}{1 - (1-p)t}$。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| PGF定义 | $G_X(t) = \mathbb{E}(t^X)$ | 非负整数离散随机变量$X$ |
| 由PGF求$\mathbb{E}(X)$ | $\mathbb{E}(X) = G_X'(1)$ |  |
| 由PGF求Var$(X)$ | $G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ |  |
| 独立和的PGF | $G_S(t) = \prod G_{X_i}(t)$ | 仅适用于独立$X_i$ |
| 二项分布PGF | $(1-p + pt)^n$ |  |
| 泊松分布PGF | $e^{\lambda(t-1)}$ |  |
| 几何分布PGF | $\frac{pt}{1 - (1-p)t}$ | 首次成功前的试验次数 |
| MGF定义 | $M_X(t) = \mathbb{E}(e^{tX})$ | 离散或连续随机变量 |
| 由MGF求$n$阶矩 | $\mathbb{E}(X^n) = M_X^{(n)}(0)$ |  |
| 独立和的MGF | $M_S(t) = \prod M_{X_i}(t)$ | 仅适用于独立$X_i$ |
| 正态分布MGF | $e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}$ | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ |

## 下一步

生成函数是高等概率与统计的基础工具，是大学阶段几乎所有进阶统计主题的基础。掌握本子主题后，你可以应用生成函数技巧求解涉及递推关系和随机游走的问题，这是CIE 9231中常见的后续主题。生成函数也是理解抽样分布的基础，而独立随机变量和的性质是假设检验和置信区间计算的核心。本主题直接连接所有涉及组合多个独立观测信息的统计进阶主题。

- [非参数检验](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-non-parametric-tests/)

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