# 离散概率分布

> CIE A-Level 进阶数学 · 第4单元：进阶概率与统计
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-discrete-probability-distributions/

本模块讲解离散概率分布的核心性质、期望、方差和概率母函数，内容符合CIE A-Level进阶数学9231的考试要求。你将学习如何解决该基础知识点的标准考试题。

**先修:** [基础概率概念和离散随机变量（A-Level数学）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-probability-discrete-random-variables/)

## 学习目标

- 陈述并应用离散概率分布的核心性质
- 计算任意离散分布的期望和方差
- 定义并运用离散随机变量的概率母函数
- 牢记常见离散分布的标准结论

## 核心定义与性质

**离散概率分布** — 描述离散随机变量所有可能概率的分布，离散随机变量只能取可数个不同值。

*记法:* 由概率质量函数（PMF）$p(x) = P(X=x)$描述

- 对于所有结果$x_i$，所有概率都满足$0 \leq P(X=x_i) \leq 1$
- 所有概率之和等于1：$\sum_{i} P(X=x_i) = 1$
- 累积分布函数（CDF）$F(x) = P(X \leq x)$是不递减的

**例题:** 离散随机变量$X$的概率质量函数为：当$x = 1, 2, 3$时$P(X=x) = kx$，其余情况为0。求$k$的值。

1. 利用所有概率之和等于1的核心性质：
2. $$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1 \\ k(1) + k(2) + k(3) = 1$$
3. 化简并求解$k$：
4. $$6k = 1 \implies k = \frac{1}{6}$$

> **考试提示:** 求出未知常数后，一定要检查所有概率之和是否为1，这可以帮你发现简单的计算错误。

## 期望与方差

**期望与方差** — 期望是分布的长期平均值，方差是衡量分布在期望周围分散程度的量。

*记法:* $E[X]$, $Var(X)$

*例:* 对于离散分布：$E[X] = \sum x P(X=x)$, $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

**例题:** 已知分布当$x=1,2,3$时$P(X=x) = \frac{x}{6}$，求$E[X]$和$Var(X)$。

1. 通过求和$x \cdot P(X=x)$计算$E[X]$：
2. $$E[X] = \left(1 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(2 \cdot \frac{2}{6}\right) + \left(3 \cdot \frac{3}{6}\right) = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{7}{3}$$
3. 使用方差简捷公式，先计算$E[X^2]$：
4. $$E[X^2] = \left(1^2 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(2^2 \cdot \frac{2}{6}\right) + \left(3^2 \cdot \frac{3}{6}\right) = \frac{36}{6} = 6$$
5. 代入方差公式：
6. $$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$$

> **考试提示:** 计算方差时一定要使用简捷公式$E[X^2] - (E[X])^2$，在考试中它比展开$E[(X-E[X])^2]$快得多。

## 概率母函数（PGF）

**概率母函数** — 存储非负整数值离散随机变量完整概率分布信息的函数。

*记法:* $G_X(t) = E[t^X] = \sum_{x=0}^\infty P(X=x) t^x$

- $G_X(1) = 1$
- $E[X] = G_X'(1)$（$t=1$处的一阶导数）
- $Var(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2$
- 对于独立变量$X,Y$: $G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$

**例题:** 求上例中分布$X$的概率母函数，并使用它验证$E[X]$的结果。

1. 根据定义写出概率母函数：
2. $$G_X(t) = P(X=1)t^1 + P(X=2)t^2 + P(X=3)t^3 = \frac{t + 2t^2 + 3t^3}{6}$$
3. 对$t$求$G_X(t)$的导数：
4. $$G_X'(t) = \frac{1 + 4t + 9t^2}{6}$$
5. 代入$t=1$计算得到$E[X]$：
6. $$E[X] = G_X'(1) = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$
7. 这与我们之前的计算结果一致，因此结果得到验证。

> **考试提示:** 概率母函数仅适用于非负整数值离散随机变量，不要对可取负值的变量使用它。

## 常见离散分布

| 分布 | PMF | $E[X]$ | $Var(X)$ | PGF |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 离散均匀分布 $(1..n)$ | $P(X=k) = \frac{1}{n}$ | $\frac{n+1}{2}$ | $\frac{n^2-1}{12}$ | $\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}$ |
| 伯努利 $(p)$ | $P(1)=p, P(0)=1-p$ | $p$ | $p(1-p)$ | $1-p + pt$ |
| 二项分布 $(n,p)$ | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ | $(1-p+pt)^n$ |
| 泊松 $(\lambda)$ | $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ | $e^{\lambda(t-1)}$ |

> **tip**
>
> 除非题目明确要求你推导这些标准结论，否则你可以在考试答题中直接使用它们来节省时间。

## 常见错误

- **错误做法:** 求出未知常数后忘记检查概率之和是否为1
  - 原因: 求解常数时很容易出现计算错误，跳过检查会导致不必要的失分
  - 正确做法: 一定要把最终得到的概率相加确认和为1，这只需要10秒钟就能发现简单错误
- **错误做法:** 把方差公式错写为$Var(X) = E[X^2] - E[X]$，而非正确的$E[X^2] - (E[X])^2$
  - 原因: 这是考试压力下快速书写公式时常见的代数错误
  - 正确做法: 把公式记为'X平方的期望 减去 期望X的整体平方'，并二次检查指数
- **错误做法:** 对可取负值的离散随机变量使用概率母函数
  - 原因: 概率母函数仅对非负整数值随机变量有定义，因此结果会出错
  - 正确做法: 对可取负值的离散变量使用直接计算或矩母函数
- **错误做法:** 对相关随机变量，通过将它们的概率母函数相乘得到和的概率母函数
  - 原因: 和的概率母函数乘积法则仅对独立随机变量成立
  - 正确做法: 只有题目确认X和Y相互独立时才能使用$G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$，否则需要直接计算
- **错误做法:** 混淆概率质量函数（PMF）和累积分布函数（CDF）
  - 原因: 当题目明确要求其中一个时，学生经常会混淆这两个概念
  - 正确做法: 记住PMF是$P(X=x)$，CDF是$P(X \leq x)$，清晰标注你的答案以避免混淆

## 速查表

| 概念 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 分布核心性质 | $\sum P(X=x_i) = 1$ |
| 期望 | $E[X] = \sum x P(X=x)$ |
| 方差 | $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ |
| 概率母函数定义 | $G_X(t) = \sum P(X=x) t^x$ |
| 概率母函数求期望 | $E[X] = G_X'(1)$ |
| 概率母函数求方差 | $Var(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2$ |
| 独立变量的和 | $G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$ |

## 下一步

离散概率分布是CIE 9231进阶概率与统计所有后续知识点的基础。你在此学到的期望、方差和母函数的核心概念几乎在每份试卷中都会被考察，也是所有后续统计学知识点的基础。独立变量和的概率母函数性质在结合多个知识点的综合考题中尤其常见。掌握这里的核心规则会让你学习命名离散分布、连续分布和统计推断时更加轻松，还能帮你在基础考题中轻松拿到分数。

- [连续概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-continuous-probability-distributions/)
- [统计推断](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-statistical-inference/)
- [生成函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-generating-functions/)

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