连续概率分布

CIE A-Level 进阶数学· 第4单元：进阶概率与统计· 15 分钟阅读

1. 有效的概率密度函数★★☆☆☆⏱ 5 min

连续随机变量可以在实数区间内取任意值，不同于只能取独立离散值的离散变量。连续变量的概率分布由概率密度函数（pdf）描述。

📘 定义

概率密度函数（pdf）

$f_{X} (x)$

非负函数 $f (x)$ ，描述连续随机变量 $X$ 取给定值的相对可能性。 $f (x)$ 曲线在 $X$ 整个取值范围内的总面积必须等于1。

例:

$f (x) = 2 x$ 对 $0 \leq x \leq 1$ 是一个有效的pdf。

📐 例题

证明 $f (x) = \frac{1}{8} (x + 1)$ 对 $2 \leq x \leq 4$ 是有效的pdf。

1
检查有效性的两个必要条件：非负性和总面积等于1。
2
对 $2 \leq x \leq 4$ ， $x + 1$ 始终为正，因此 $f (x) > 0$ ，满足非负性条件。
3
对 $f (x)$ 在 $x$ 的整个范围内积分：
4
$\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(x+1) dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{2}^{4}$
5
计算定积分：
6
$\frac{1}{8} \left( (8 + 4) - (2 + 2) \right) = \frac{1}{8} (12 - 4) = 1$
7
两个条件都满足，因此 $f (x)$ 是有效的pdf。

Exam tip:

始终要检查有效性的两个条件：非负性 AND 总面积等于1。考官通常会给只检查了一个条件的考生扣分。

2. 从pdf计算概率★★☆☆☆⏱ 5 min

对于连续分布，概率等于区间边界之间pdf曲线下的面积。连续随机变量的一个关键性质是， $X$ 取任意单个特定值的概率始终为零。

P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx

📐 例题

已知有效pdf $f (x) = \frac{1}{8} (x + 1)$ 对 $2 \leq x \leq 4$ ，计算 $P (2.5 < X < 3.5)$ 。

1
在给定边界之间建立 $f (x)$ 的积分：
2
$P(2.5 < X < 3.5) = \int_{2.5}^{3.5} \frac{1}{8}(x+1) dx$
3
计算原函数并求值：
4
$= \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{2.5}^{3.5}$
5
$= \frac{1}{8} \left( (\frac{12.25}{2} + 3.5) - (\frac{6.25}{2} + 2.5) \right) = 0.5$

3. 累积分布函数（cdfs）★★★☆☆⏱ 6 min

累积分布函数 $F (x)$ 给出 $X$ 小于等于给定值 $x$ 的概率，它由pdf从 $X$ 的下界到 $x$ 积分得到。

📘 定义

累积分布函数（cdf）

$F_{X} (x)$

$F (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ . 对定义在 $a \leq x \leq b$ 上的pdf， $F (x) = 0$ 对 $x < a$ 且 $F (x) = 1$ 对 $x > b$ 。

📐 例题

求pdf $f (x) = \frac{1}{8} (x + 1)$ ， $2 \leq x \leq 4$ 的累积分布函数。

1
对 $x < 2$ ，没有概率，因此 $F (x) = 0$ 。
2
对 $2 \leq x \leq 4$ ，对pdf从2到 $x$ 积分：
3
$F(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{8}(t+1) dt = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_{2}^{x}$
4
化简表达式：
5
$= \frac{1}{8} \left( \frac{x^2}{2} + x - 4 \right) = \frac{x^2 + 2x - 8}{16}$
6
对 $x > 4$ ， $F (x) = 1$ ，代入 $x = 4$ 验证成立： $\frac{16 + 8 - 8}{16} = 1$ 。完整的cdf是：
7
$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 2 \\ \frac{x^2 + 2x - 8}{16} & 2 \leq x \leq 4 \\ 1 & x > 4 \end{cases}$

4. 连续分布的描述统计量★★★☆☆⏱ 7 min

我们按照以下标准规则，通过积分计算连续分布的常用描述统计量：

期望（均值）: $E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$
方差: $V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ , 其中 $E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f (x) d x$
中位数: 满足 $F (m) = 0.5$ 的值 $m$
众数: 使 $f (x)$ 取最大值的 $x$ 值，通过微分法求得

📐 例题

计算pdf为 $f (x) = \frac{1}{8} (x + 1)$ ， $2 \leq x \leq 4$ 的分布的中位数。

1
使用之前推导得到的cdf，令 $F (m) = 0.5$ ：
2
$\frac{m^2 + 2m - 8}{16} = 0.5$
3
整理得到一元二次方程：
4
$m^2 + 2m - 16 = 0$
5
解二次方程，取区间 $[2, 4]$ 内的根：
6
$m = -1 + \sqrt{17} \approx 3.12$
7
中位数约为 3.12（三位有效数字）。

5. 常见陷阱

错误做法:

验证有效pdf时忘记检查非负性条件

原因:

许多学生只检查总积分等于1，但一个函数可以积分结果为1，却在部分取值区间内为负

正确做法:

在检查积分条件之前，始终要确认在 $X$ 的所有取值范围内都满足 $f (x) \geq 0$

错误做法:

对连续分布，将 $P (X = a)$ 计算为 $f (a)$

原因:

混淆了离散概率质量函数和连续概率密度函数

正确做法:

记住对任意连续随机变量都有 $P (X = a) = 0$ ，概率仅在区间上非零

错误做法:

只写出pdf非零区间上的cdf表达式，省略了其他情况

原因:

跳过了 $x$ 小于 $X$ 下界和大于 $X$ 上界的情况

正确做法:

始终明确当 $x < min (X)$ 时 $F (x) = 0$ ，当 $x > max (X)$ 时 $F (x) = 1$

错误做法:

将方差计算为 $[E (X)]^{2} - E (X^{2})$

原因:

混淆了方差公式中项的顺序，导致得到负方差

正确做法:

记住 $V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，该式始终得到非负结果

错误做法:

求众数时只停在第一个驻点，不检查端点

原因:

假设众数一定是内部临界点，但最大值可能出现在端点

正确做法:

检查所有临界点和区间端点，找到 $f (x)$ 的最大值

6. 速查表

统计量	公式
有效pdf条件	$f (x) \geq 0 \forall x, \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$
$P (a \leq X \leq b)$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$
从pdf得cdf	$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$
期望 $E (X)$	$\int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$
方差 $V a r (X)$	$E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$
中位数 $m$	$F (m) = 0.5$
众数	使 $f (x)$ 取最大值的 $x$ 值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
验证概率密度函数有效性 + 概率计算
2023 · 2
求累积分布函数 + 中位数
2021 · 1
计算期望和方差

下一步

连续概率分布是CIE A-Level进阶数学中所有后续统计学内容的基础。你会把这些核心积分和变换技巧应用到特定的命名连续分布上，包括均匀分布、指数分布、正态分布和卡方分布。这些技能对本单元后续更高级的主题也至关重要，比如概率生成函数、连续假设检验和随机变量的线性组合。