# 连续概率分布

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-continuous-probability-distributions/

本子主题介绍连续随机变量及其核心性质。你将学习如何处理概率密度函数和累积分布函数，并计算连续分布的关键描述统计量。

**先修:** [离散概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-discrete-probability-distributions/); A-Level数学的核心积分技巧

## 学习目标

- 区分离散和连续概率分布
- 验证一个函数是有效的概率密度函数
- 从概率密度函数计算概率、累积分布函数
- 计算连续分布的期望、方差、中位数和众数

## 有效的概率密度函数

连续随机变量可以在实数区间内取任意值，不同于只能取独立离散值的离散变量。连续变量的概率分布由概率密度函数（pdf）描述。

**概率密度函数（pdf）** — 非负函数$f(x)$，描述连续随机变量$X$取给定值的相对可能性。$f(x)$曲线在$X$整个取值范围内的总面积必须等于1。

*记法:* $f_X(x)$

*例:* $f(x) = 2x$ 对 $0 \leq x \leq 1$ 是一个有效的pdf。

**例题:** 证明 $f(x) = \frac{1}{8}(x+1)$ 对 $2 \leq x \leq 4$ 是有效的pdf。

1. 检查有效性的两个必要条件：非负性和总面积等于1。
2. 对 $2 \leq x \leq 4$，$x+1$ 始终为正，因此 $f(x) > 0$，满足非负性条件。
3. 对$f(x)$在$x$的整个范围内积分：
4. $$\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(x+1) dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{2}^{4}$$
5. 计算定积分：
6. $$\frac{1}{8} \left( (8 + 4) - (2 + 2) \right) = \frac{1}{8} (12 - 4) = 1$$
7. 两个条件都满足，因此 $f(x)$ 是有效的pdf。

> **考试提示:** 始终要检查有效性的两个条件：非负性 AND 总面积等于1。考官通常会给只检查了一个条件的考生扣分。

## 从pdf计算概率

对于连续分布，概率等于区间边界之间pdf曲线下的面积。连续随机变量的一个关键性质是，$X$取任意单个特定值的概率始终为零。

$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

> **info**
>
> 因为对任意 $a$ 都有 $P(X=a) = 0$，所有区间边界给出的概率都相同：$P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b)$。

**例题:** 已知有效pdf $f(x) = \frac{1}{8}(x+1)$ 对 $2 \leq x \leq 4$，计算 $P(2.5 < X < 3.5)$。

1. 在给定边界之间建立$f(x)$的积分：
2. $$P(2.5 < X < 3.5) = \int_{2.5}^{3.5} \frac{1}{8}(x+1) dx$$
3. 计算原函数并求值：
4. $$= \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{2.5}^{3.5}$$
5. $$= \frac{1}{8} \left( (\frac{12.25}{2} + 3.5) - (\frac{6.25}{2} + 2.5) \right) = 0.5$$

## 累积分布函数（cdfs）

累积分布函数 $F(x)$ 给出 $X$ 小于等于给定值 $x$ 的概率，它由pdf从$X$的下界到$x$积分得到。

**累积分布函数（cdf）** — $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$. 对定义在 $a \leq x \leq b$ 上的pdf，$F(x) = 0$ 对 $x < a$ 且 $F(x) = 1$ 对 $x > b$。

*记法:* $F_X(x)$

**例题:** 求pdf $f(x) = \frac{1}{8}(x+1)$，$2 \leq x \leq 4$ 的累积分布函数。

1. 对 $x < 2$，没有概率，因此 $F(x) = 0$。
2. 对 $2 \leq x \leq 4$，对pdf从2到$x$积分：
3. $$F(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{8}(t+1) dt = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_{2}^{x}$$
4. 化简表达式：
5. $$= \frac{1}{8} \left( \frac{x^2}{2} + x - 4 \right) = \frac{x^2 + 2x - 8}{16}$$
6. 对 $x > 4$，$F(x) = 1$，代入 $x=4$ 验证成立：$\frac{16 + 8 - 8}{16} = 1$。完整的cdf是：
7. $$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 2 \\ \frac{x^2 + 2x - 8}{16} & 2 \leq x \leq 4 \\ 1 & x > 4 \end{cases}$$

> **tip**
>
> 始终要将cdf写成分段函数，覆盖所有$x$的取值，而不仅仅是pdf非零的区间。这是一个常见的、容易拿到的得分点。

## 连续分布的描述统计量

我们按照以下标准规则，通过积分计算连续分布的常用描述统计量：

1. 期望（均值）: $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
2. 方差: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$, 其中 $E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$
3. 中位数: 满足 $F(m) = 0.5$ 的值 $m$
4. 众数: 使 $f(x)$ 取最大值的 $x$ 值，通过微分法求得

**例题:** 计算pdf为 $f(x) = \frac{1}{8}(x+1)$，$2 \leq x \leq 4$ 的分布的中位数。

1. 使用之前推导得到的cdf，令 $F(m) = 0.5$：
2. $$\frac{m^2 + 2m - 8}{16} = 0.5$$
3. 整理得到一元二次方程：
4. $$m^2 + 2m - 16 = 0$$
5. 解二次方程，取区间 $[2,4]$ 内的根：
6. $$m = -1 + \sqrt{17} \approx 3.12$$
7. 中位数约为 3.12（三位有效数字）。

## 常见错误

- **错误做法:** 验证有效pdf时忘记检查非负性条件
  - 原因: 许多学生只检查总积分等于1，但一个函数可以积分结果为1，却在部分取值区间内为负
  - 正确做法: 在检查积分条件之前，始终要确认在$X$的所有取值范围内都满足 $f(x) \geq 0$
- **错误做法:** 对连续分布，将 $P(X = a)$ 计算为 $f(a)$
  - 原因: 混淆了离散概率质量函数和连续概率密度函数
  - 正确做法: 记住对任意连续随机变量都有 $P(X = a) = 0$，概率仅在区间上非零
- **错误做法:** 只写出pdf非零区间上的cdf表达式，省略了其他情况
  - 原因: 跳过了$x$小于$X$下界和大于$X$上界的情况
  - 正确做法: 始终明确 当 $x < \min(X)$ 时 $F(x) = 0$，当 $x > \max(X)$ 时 $F(x) = 1$
- **错误做法:** 将方差计算为 $[E(X)]^2 - E(X^2)$
  - 原因: 混淆了方差公式中项的顺序，导致得到负方差
  - 正确做法: 记住 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，该式始终得到非负结果
- **错误做法:** 求众数时只停在第一个驻点，不检查端点
  - 原因: 假设众数一定是内部临界点，但最大值可能出现在端点
  - 正确做法: 检查所有临界点和区间端点，找到 $f(x)$ 的最大值

## 速查表

| 统计量 | 公式 |
| --- | --- |
| 有效pdf条件 | $f(x) \geq 0 \ \forall x, \ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ |
| $P(a \leq X \leq b)$ | $\int_{a}^{b} f(x) dx$ |
| 从pdf得cdf | $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ |
| 期望 $E(X)$ | $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ |
| 方差 $Var(X)$ | $E(X^2) - [E(X)]^2$ |
| 中位数 $m$ | $F(m) = 0.5$ |
| 众数 | 使 $f(x)$ 取最大值的 $x$ 值 |

## 下一步

连续概率分布是CIE A-Level进阶数学中所有后续统计学内容的基础。你会把这些核心积分和变换技巧应用到特定的命名连续分布上，包括均匀分布、指数分布、正态分布和卡方分布。这些技能对本单元后续更高级的主题也至关重要，比如概率生成函数、连续假设检验和随机变量的线性组合。

- [统计推断](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-statistical-inference/)
- [生成函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-generating-functions/)
- [非参数检验](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-non-parametric-tests/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-continuous-probability-distributions/