学习指南

卡方检验

进阶数学· 9231 第4单元：进阶概率与统计，第6节· 25 分钟阅读

1. 卡方拟合优度检验基础★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

卡方检验统计量

χ2=∑(Oi−Ei)2Ei\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

观测频数与期望频数的差的平方之和，每个类别按期望频数归一化。

对于拟合优度检验，原假设声明样本数据服从指定的理论分布，备择假设声明数据不服从该分布。期望频数直接从理论分布计算，按总样本量缩放。

📐 例题

一枚公平的6面骰子被投掷120次，观测得分为：25、18、22、17、21、17。计算卡方检验统计量以检验骰子是否公平。

  1. 1

    总样本量=120。对于公平骰子，6个结果中每个结果的期望频数=120/6=20。

  2. 2

    计算每一项 (O_i - E_i)^2 / E_i：

  3. 3
    (25−20)220+(18−20)220+(22−20)220+(17−20)220+(21−20)220+(17−20)220\frac{(25-20)^2}{20} + \frac{(18-20)^2}{20} + \frac{(22-20)^2}{20} + \frac{(17-20)^2}{20} + \frac{(21-20)^2}{20} + \frac{(17-20)^2}{20}
  4. 4

    求和：1.25 + 0.2 + 0.2 + 0.45 + 0.05 + 0.45 = 2.6

✓ 快速检测

  1. 如果总样本量为200，某类别的理论概率为0.15，该类别的期望频数是多少？

    显示答案
    30 —

    E_i = n * p_i = 200 * 0.15 = 30

Exam tip:

如果你没有在进行检验前明确声明所有期望频数都≥5，CIE考官会扣分。

2. 自由度计算★★★☆☆⏱ 6 min

卡方检验的自由度是用于计算检验统计量的独立信息的数量。对于拟合优度检验，你需要减去1个总样本量约束，再减去从样本数据估计的每个总体参数对应的1个自由度。

ν=k−m−1\nu = k - m - 1

  • k = 合并所有E_i <5的组后的类别数

  • m = 从样本数据估计的、用于定义理论分布的参数数量

📐 例题

你将正态分布拟合到8个分组数据类别中，从样本估计均值和方差，所有期望频数都≥5。求自由度。

  1. 1

    类别数k=8

  2. 2

    估计的参数数量m=2（均值和方差）

  3. 3
    ν=8−2−1=5\nu = 8 - 2 - 1 = 5
✓ 快速检测

  1. 你检验数据是否服从泊松分布，从样本估计λ，共有4个类别，自由度是多少？

    显示答案
    2 —

    4 - 1 -1 = 2

Exam tip:

不要为题目中给出的参数额外减去自由度，只需要为你从样本中计算出的值减去自由度。

3. 卡方独立性检验★★★☆☆⏱ 7 min

该检验使用列联表评估两个分类变量是否相互独立。原假设声明两个变量相互独立，备择假设声明它们存在关联。每个单元格的期望频数计算为（行总和 × 列总和）/ 总总和。

Eij=Ri×CjNE_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}
📐 例题

一个3×2列联表的行总和为40、60、50，列总和为70、80，总总和为150。计算第2行第1列单元格的期望频数。

  1. 1

    第2行总和R_2=60，第1列总和C_1=70

  2. 2
    E21=60×70150=28E_{21} = \frac{60 \times 70}{150} = 28

r×c列联表的自由度为(r-1)(c-1)，其中r是行数，c是列数，不需要额外减去值。

Exam tip:

你可以通过检查所有行和列的总和是否与观测列联表的总和匹配，来验证期望频数是否正确。

4. 耶茨连续性修正★★★☆☆⏱ 6 min

卡方分布是连续的，但从2×2列联表计算出的检验统计量是离散的。耶茨修正用于调整检验统计量以减少这种近似误差，在CIE 9231教学大纲中，所有2×2列联表都必须使用该修正。

χYates2=∑(∣Oi−Ei∣−0.5)2Ei\chi^2_{\text{Yates}} = \sum \frac{(|O_i - E_i| - 0.5)^2}{E_i}
📐 例题

对于一个2×2列联表，每个单元格的观测值与期望值的差为1.2，计算耶茨修正后的检验统计量。

  1. 1

    从绝对差中减去0.5：|1.2| - 0.5 = 0.7

  2. 2

    对值取平方：0.7² = 0.49

  3. 3

    对4个单元格求和，每个单元格E_i=25：4 × (0.49 / 25) = 0.0784

5. 常见陷阱

错误做法:

未能合并小于5的期望频数

原因:

破坏了卡方分布近似的假设，导致检验统计量偏大，得出错误结论

正确做法:

合并相邻类别直到所有E_i≥5，然后将自由度减去合并的组数减1

错误做法:

将耶茨修正应用于3×2或更大的列联表

原因:

耶茨修正仅为2×2表设计，对更大的表会产生过于保守的检验结果

正确做法:

仅当列联表为2行2列时才明确使用耶茨修正

错误做法:

忘记为从样本数据估计的参数减去自由度

原因:

高估自由度，导致你选择过于宽松的临界值，错误地拒绝原假设

正确做法:

明确统计你从观测数据中计算出的、用于定义理论分布的所有参数，每个参数从自由度中减去1

错误做法:

使用观测总和而不是（行总和×列总和）/总总和来计算列联表的期望频数

原因:

生成的无效期望值不能反映独立性假设

正确做法:

在计算检验统计量之前，验证所有期望的行和列总和与观测表的总和完全匹配

错误做法:

将原假设表述为“两个变量相关”

原因:

卡方独立性检验不测量线性相关性，它检验分类变量之间的任何关联

正确做法:

明确写出H0为“两个变量相互独立”，H1为“两个变量不相互独立”

6. 速查表

检验类型

自由度公式

所需调整

拟合优度，无估计参数

k - 1

如果E_i <5则合并类别

拟合优度，m个估计参数

k - m - 1

如果E_i <5则合并类别

r×c列联表（r>2或c>2）

(r-1)(c-1)

如果E_i <5则合并行/列

2×2列联表

1

应用耶茨连续性修正

7. 常见问题

什么时候需要合并期望频数？

CIE要求如果任意期望频数小于5，你需要合并相邻类别，并且自由度需要减去你合并的类别数量。

卡方检验可以是单侧检验还是双侧检验？

9231教学大纲中的所有标准卡方检验都是右尾检验，因为与期望值的大偏差只会出现在分布的上尾。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2024 · 4

    泊松分布的拟合优度检验

  • 2023 · 3

    3×2列联表的独立性检验

  • 2022 · 4

    2×2列联表的耶茨修正

下一步

掌握卡方检验为你提供了分析分类数据的核心工具，该工具几乎出现在每一份CIE 9231考试试卷中。接下来，你将在这个假设检验的基础上学习非参数检验，当你的数据不满足t检验等标准参数检验的假设时，可以使用这些检验。你还将探索相关系数的假设检验，它可以评估连续变量之间线性关系的统计显著性。这些主题经常在扩展问题集中与卡方问题配对，因此现在巩固你的理解将提高你期末考试的表现。