功与能量

CIE A-Level 进阶数学· 30 分钟阅读

1. 恒力与变力做功★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

功

W

力作用于发生位移的物体时转移的能量。对于位移元 $d r$ 上的力 $F$ ，功由线积分给出： $W = \int F \cdot d r$

例:

一个10 N的恒力沿力的方向推动物体移动5 m，做功为 $10 \times 5 = 50$ J。

对于恒力，线积分简化为 $W = F d cos θ$ ，其中 $θ$ 是力矢量与位移之间的夹角。如果力与位移垂直， $cos θ = 0$ ，因此做功为零。对于沿直线作用的变力，公式简化为 $W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) d x$ 。

📐 例题

变力 $F (x) = 3 x^{2} + 2 x$ （单位：牛顿）作用在沿x轴从 $x = 0$ 移动到 $x = 3$ m的质点上。计算该力做的总功。

1
使用一维变力做功的公式：
2
$W = \int_0^3 (3x^2 + 2x) \mathrm{d}x$
3
逐项积分：
4
$\left[ x^3 + x^2 \right]_0^3$
5
代入上下限：
6
$(3^3 + 3^2) - (0 + 0) = 27 + 9 = 36$
7
总功为36 J。

Exam tip:

务必检查力相对于位移的方向——负功表示能量从系统中流出（例如摩擦力做的功）。

2. 功能原理★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

功能原理

所有外力对质点做的总功等于质点动能的变化量： $W_{net} = Δ E_{k} = E_{k final} - E_{k initial}$

例:

如果质点损失了20 J的动能，所有力对它做的总功就是-20 J。

该原理对恒力和变力都成立，还可以推广到质点系。当只有保守力（重力、弹性力）做功时，总机械能守恒： $E_{k} + E_{p} + E_{e} = constant$ 。如果存在摩擦力这类非保守力做功，我们需要在能量平衡中计入克服这些力做的功。

📐 例题

一个质量为2 kg的质点以10 m/s的初速度沿粗糙斜面向上抛出。斜面与水平面夹角为30°，摩擦系数为0.2。使用功能原理求质点沿斜面向上运动的最大距离。取 $g = 9.8$ m/s²。

1
设最大距离为 $s$ 。在最大距离处，末速度为0，因此动能变化为：
2
$\Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(2)(10)^2 = -100 \text{ J}$
3
计算每个力做的功：支持力与位移垂直，因此做功为0。重力和摩擦力做的功均为负：
4
$W_g = -mg s \sin 30^\circ = -9.8s, \quad W_f = -\mu mg \cos 30^\circ s = -3.39s$
5
应用功能原理：总功等于动能变化：
6
$-9.8s - 3.39s = -100 \implies 13.19s = 100$
7
求解 $s$ ：
8
$s \approx 7.6 \text{ m}$

3. 弹性势能★★★☆☆⏱ 20 min

当弹性绳或弹簧从原长被拉伸或压缩时，它储存的弹性势能等于将其从原长变形所做的功。这是CIE考试中弹性系统问题的核心概念。

📘 定义

弹性势能

E_e

储存于变形弹性材料中的能量，公式为 $E_{e} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{λ x ^{2}}{2 l _{0}}$ ，其中 $k$ 是劲度系数， $x$ 是伸长/压缩量， $λ$ 是弹性模量， $l_{0}$ 是原长。

例:

劲度系数 $k = 10$ N/m的弹簧被拉伸2 m，储存的弹性势能为 $\frac{1}{2} (10) (2)^{2} = 20$ J。

📐 例题

一根轻质弹性绳原长为2 m，弹性模量为40 N。一端固定在粗糙水平桌面上的一点，另一端连接一个3 kg的质点。质点被拉到距离固定端4 m处由静止释放。求它回到原长位置时的速度，已知 $μ = 0.2$ ， $g = 9.8$ m/s²。

1
计算劲度系数 $k = λ / l_{0} = 40/2 = 20$ N/m。初始伸长量为 $x = 4 - 2 = 2$ m。
2
2 m位移中克服摩擦力做功为：
3
$W_{\text{friction}} = \mu mg \times 2 = 0.2 \times 3 \times 9.8 \times 2 = 11.76 \text{ J}$
4
应用能量守恒：初始弹性势能等于末动能加上克服摩擦力做的功：
5
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + 11.76$
6
代入数值：
7
$40 = 1.5 v^2 + 11.76 \implies 1.5 v^2 = 28.24$
8
求解 $v$ ：
9
$v \approx 4.34 \text{ m/s}$

Exam tip:

如果弹簧初始就有非零伸长量，务必计算弹性势能的变化量，而不是只算末态值。

4. 功率与效率★★★☆☆⏱ 15 min

功率是做功的速率，常考题型为发动机功率恒定的车辆运动问题，这类问题无法用恒定加速度运动学直接求解。

📘 定义

功率与效率

瞬时功率：当力 $F$ 作用在沿力方向以瞬时速度 $v$ 运动的物体上时， $P = F v$ 。平均功率为 $P = W / t$ 。效率 $η = \frac{Useful output power}{Input power} \times 100%$ 。

📐 例题

一辆质量1200 kg的汽车沿倾角为 $arcsin (1/10)$ 的山坡向上行驶。发动机输出恒定功率30 kW，运动阻力为200 N。求速度为10 m/s时的加速度。取 $g = 9.8$ m/s²。

1
由功率求牵引力： $F = P / v$
2
$F = 30000 / 10 = 3000 \text{ N}$
3
重力沿斜面向下的分力：
4
$mg \sin\theta = 1200 \times 9.8 \times 1/10 = 1176 \text{ N}$
5
沿山坡向上应用牛顿第二定律：
6
$F - \text{resistance} - mg \sin\theta = ma$
7
$3000 - 200 - 1176 = 1200a \implies 1624 = 1200a$
8
求解加速度：
9
$a \approx 1.35 \text{ m/s}^2$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记力和位移之间的夹角，对任意力都使用 $W = F d$ 计算。

原因:

功只取决于力沿运动方向的分量，而不是力的总大小。

正确做法:

始终使用 $W = F d cos θ$ 来考虑力和位移之间的夹角。

错误做法:

直接将弹性模量代入弹性势能公式，错误写为 $E_{e} = \frac{1}{2} λ x^{2}$ 。

原因:

CIE考题通常给出弹性模量 $λ$ ，而非劲度系数 $k$ ，公式需要包含原长。

正确做法:

使用公式 $E_{e} = \frac{λ x ^{2}}{2 l _{0}}$ ，其中 $l_{0}$ 是弹性绳或弹簧的原长。

错误做法:

假设机械能总是守恒的。

原因:

机械能守恒仅在没有非保守力（如摩擦力）做功时成立。

正确做法:

当存在摩擦力时，一定要在能量平衡方程中加上克服非保守力做的功。

错误做法:

使用 $P = F v$ 计算一段行程的平均功率。

原因:

$P = F v$ 给出的是瞬时速度 $v$ 对应的瞬时功率，不是一段时间内的平均功率。

正确做法:

计算平均功率使用 $P = \frac{总功}{总时间}$ 。

错误做法:

忘记连接质点系中的内力可以做功。

原因:

系统的功能原理需要同时计入外力和内力做的功。

正确做法:

始终注意不可伸长绳中的张力，它可以对单个连接质点做功。

6. 速查表

物理量	公式	说明
恒力做功	$W = F d cos θ$	$θ$ = 力 $F$ 与位移的夹角
一维变力做功	$W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) d x$
二维变力做功	$W = \int F \cdot d r$
功能原理	$W_{net} = Δ E_{k}$	总功 = 动能变化量
弹性势能	$E_{e} = \frac{λ x ^{2}}{2 l _{0}} = \frac{1}{2} k x^{2}$	$x$ = 相对原长的伸长量
能量守恒	$E_{1} = E_{2} + W_{lost}$	$W_{lost}$ = 克服非保守力做的功
瞬时功率	$P = F v$	$F$ 沿瞬时速度 $v$ 的方向
平均功率	$P = \frac{W}{t}$	$W$ = 时间 $t$ 内做的总功

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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功与能量是所有进阶力学主题的基础概念，在CIE 9231考试中经常结合碰撞、圆周运动和刚体动力学考察。掌握能量方法比直接使用牛顿第二定律求解复杂问题快得多，尤其对于其他方法难以处理的变力问题。这些概念会直接支撑你对动量和碰撞，以及轨道力学问题中引力势能的理解。使用下方链接继续备考进阶力学。