# 功与能量

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶力学 第3单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-work-and-energy/

本子主题将基础功能力概念拓展到变力、弹性系统和多体系统。你将学习如何计算多维下的做功，并解决CIE进阶力学考试中常见的复杂能量守恒问题。

**先修:** [A-Level 数学功与能量基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-mechanics-work-energy/); [弹性材料的胡克定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-mechanics-elastic-bodies/)

## 学习目标

- 计算一维和二维中恒力与变力所做的功
- 将功能原理应用于质点和刚体系统
- 解决涉及弹性势能和机械能守恒的问题
- 计算动力系统的功率和效率

## 恒力与变力做功

**功** — 力作用于发生位移的物体时转移的能量。对于位移元$\mathrm{d}\vec{r}$上的力$\vec{F}$，功由线积分给出：$W = \int \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}$

*记法:* W

*例:* 一个10 N的恒力沿力的方向推动物体移动5 m，做功为$10 \times 5 = 50$ J。

对于恒力，线积分简化为$W = Fd\cos\theta$，其中$\theta$是力矢量与位移之间的夹角。如果力与位移垂直，$\cos\theta = 0$，因此做功为零。对于沿直线作用的变力，公式简化为$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \mathrm{d}x$。

**例题:** 变力$F(x) = 3x^2 + 2x$（单位：牛顿）作用在沿x轴从$x=0$移动到$x=3$ m的质点上。计算该力做的总功。

1. 使用一维变力做功的公式：
2. $$W = \int_0^3 (3x^2 + 2x) \mathrm{d}x$$
3. 逐项积分：
4. $$\left[ x^3 + x^2 \right]_0^3$$
5. 代入上下限：
6. $$(3^3 + 3^2) - (0 + 0) = 27 + 9 = 36$$
7. 总功为36 J。

> **考试提示:** 务必检查力相对于位移的方向——负功表示能量从系统中流出（例如摩擦力做的功）。

## 功能原理

**功能原理** — 所有外力对质点做的总功等于质点动能的变化量：$W_{\text{net}} = \Delta E_k = E_{k\text{final}} - E_{k\text{initial}}$

*例:* 如果质点损失了20 J的动能，所有力对它做的总功就是-20 J。

该原理对恒力和变力都成立，还可以推广到质点系。当只有保守力（重力、弹性力）做功时，总机械能守恒：$E_k + E_p + E_e = \text{constant}$。如果存在摩擦力这类非保守力做功，我们需要在能量平衡中计入克服这些力做的功。

**例题:** 一个质量为2 kg的质点以10 m/s的初速度沿粗糙斜面向上抛出。斜面与水平面夹角为30°，摩擦系数为0.2。使用功能原理求质点沿斜面向上运动的最大距离。取$g=9.8$ m/s²。

1. 设最大距离为$s$。在最大距离处，末速度为0，因此动能变化为：
2. $$\Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(2)(10)^2 = -100 \text{ J}$$
3. 计算每个力做的功：支持力与位移垂直，因此做功为0。重力和摩擦力做的功均为负：
4. $$W_g = -mg s \sin 30^\circ = -9.8s, \quad W_f = -\mu mg \cos 30^\circ s = -3.39s$$
5. 应用功能原理：总功等于动能变化：
6. $$-9.8s - 3.39s = -100 \implies 13.19s = 100$$
7. 求解$s$：
8. $$s \approx 7.6 \text{ m}$$

## 弹性势能

当弹性绳或弹簧从原长被拉伸或压缩时，它储存的弹性势能等于将其从原长变形所做的功。这是CIE考试中弹性系统问题的核心概念。

**弹性势能** — 储存于变形弹性材料中的能量，公式为$E_e = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{\lambda x^2}{2l_0}$，其中$k$是劲度系数，$x$是伸长/压缩量，$\lambda$是弹性模量，$l_0$是原长。

*记法:* E_e

*例:* 劲度系数$k=10$ N/m的弹簧被拉伸2 m，储存的弹性势能为$\frac{1}{2}(10)(2)^2 = 20$ J。

**例题:** 一根轻质弹性绳原长为2 m，弹性模量为40 N。一端固定在粗糙水平桌面上的一点，另一端连接一个3 kg的质点。质点被拉到距离固定端4 m处由静止释放。求它回到原长位置时的速度，已知$\mu=0.2$，$g=9.8$ m/s²。

1. 计算劲度系数$k = \lambda / l_0 = 40/2 = 20$ N/m。初始伸长量为$x = 4-2 = 2$ m。
2. 2 m位移中克服摩擦力做功为：
3. $$W_{\text{friction}} = \mu mg \times 2 = 0.2 \times 3 \times 9.8 \times 2 = 11.76 \text{ J}$$
4. 应用能量守恒：初始弹性势能等于末动能加上克服摩擦力做的功：
5. $$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + 11.76$$
6. 代入数值：
7. $$40 = 1.5 v^2 + 11.76 \implies 1.5 v^2 = 28.24$$
8. 求解$v$：
9. $$v \approx 4.34 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 如果弹簧初始就有非零伸长量，务必计算弹性势能的变化量，而不是只算末态值。

## 功率与效率

功率是做功的速率，常考题型为发动机功率恒定的车辆运动问题，这类问题无法用恒定加速度运动学直接求解。

**功率与效率** — 瞬时功率：当力$F$作用在沿力方向以瞬时速度$v$运动的物体上时，$P = Fv$。平均功率为$P = W/t$。效率$\eta = \frac{\text{Useful output power}}{\text{Input power}} \times 100\%$。

**例题:** 一辆质量1200 kg的汽车沿倾角为$\arcsin(1/10)$的山坡向上行驶。发动机输出恒定功率30 kW，运动阻力为200 N。求速度为10 m/s时的加速度。取$g=9.8$ m/s²。

1. 由功率求牵引力：$F = P/v$
2. $$F = 30000 / 10 = 3000 \text{ N}$$
3. 重力沿斜面向下的分力：
4. $$mg \sin\theta = 1200 \times 9.8 \times 1/10 = 1176 \text{ N}$$
5. 沿山坡向上应用牛顿第二定律：
6. $$F - \text{resistance} - mg \sin\theta = ma$$
7. $$3000 - 200 - 1176 = 1200a \implies 1624 = 1200a$$
8. 求解加速度：
9. $$a \approx 1.35 \text{ m/s}^2$$

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记力和位移之间的夹角，对任意力都使用$W=Fd$计算。
  - 原因: 功只取决于力沿运动方向的分量，而不是力的总大小。
  - 正确做法: 始终使用$W=Fd\cos\theta$来考虑力和位移之间的夹角。
- **错误做法:** 直接将弹性模量代入弹性势能公式，错误写为$E_e = \frac{1}{2}\lambda x^2$。
  - 原因: CIE考题通常给出弹性模量$\lambda$，而非劲度系数$k$，公式需要包含原长。
  - 正确做法: 使用公式$E_e = \frac{\lambda x^2}{2l_0}$，其中$l_0$是弹性绳或弹簧的原长。
- **错误做法:** 假设机械能总是守恒的。
  - 原因: 机械能守恒仅在没有非保守力（如摩擦力）做功时成立。
  - 正确做法: 当存在摩擦力时，一定要在能量平衡方程中加上克服非保守力做的功。
- **错误做法:** 使用$P=Fv$计算一段行程的平均功率。
  - 原因: $P=Fv$给出的是瞬时速度$v$对应的瞬时功率，不是一段时间内的平均功率。
  - 正确做法: 计算平均功率使用$P = \frac{\text{总功}}{\text{总时间}}$。
- **错误做法:** 忘记连接质点系中的内力可以做功。
  - 原因: 系统的功能原理需要同时计入外力和内力做的功。
  - 正确做法: 始终注意不可伸长绳中的张力，它可以对单个连接质点做功。

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | $W = Fd \cos\theta$ | $\theta$ = 力$F$与位移的夹角 |
| 一维变力做功 | $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \mathrm{d}x$ |  |
| 二维变力做功 | $W = \int \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}$ |  |
| 功能原理 | $W_{\text{net}} = \Delta E_k$ | 总功 = 动能变化量 |
| 弹性势能 | $E_e = \frac{\lambda x^2}{2 l_0} = \frac{1}{2} k x^2$ | $x$ = 相对原长的伸长量 |
| 能量守恒 | $E_1 = E_2 + W_{\text{lost}}$ | $W_{\text{lost}}$ = 克服非保守力做的功 |
| 瞬时功率 | $P = Fv$ | $F$沿瞬时速度$v$的方向 |
| 平均功率 | $P = \frac{W}{t}$ | $W$ = 时间$t$内做的总功 |

## 下一步

功与能量是所有进阶力学主题的基础概念，在CIE 9231考试中经常结合碰撞、圆周运动和刚体动力学考察。掌握能量方法比直接使用牛顿第二定律求解复杂问题快得多，尤其对于其他方法难以处理的变力问题。这些概念会直接支撑你对动量和碰撞，以及轨道力学问题中引力势能的理解。使用下方链接继续备考进阶力学。

- [质点圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-circular-motion/)
- [刚体平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-equilibrium-of-rigid-bodies/)
- [弹性与简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-elasticity-and-simple-harmonic-motion/)

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