抛体运动

进阶数学· 9231 第三单元：进阶力学，第2节：抛体· 25 分钟阅读

1. 抛体运动的核心运动学方程★★★☆☆⏱ 10 min

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抛体运动假设不存在空气阻力，因此作用在质点上的唯一力是竖直向下的重力。这意味着水平加速度恒为0，若定义向上为正方向，竖直加速度为恒定值 $- g$ 。

📘 定义

斜向投射

$u_{x} = u cos θ, u_{y} = u sin θ$

质点以初速度 $u$ 沿与水平方向成 $θ$ 角的方向射出，初速度可分解为相互独立的水平分量和竖直分量。

🔬 推导

目标:

推导抛体运动的位移分量

起点:

初速度分量 $u_{x} = u cos θ$ ， $u_{y} = u sin θ$ ， $a_{x} = 0$ ， $a_{y} = - g$

1
对水平位移应用匀加速公式，加速度为0：
2
$x = u_x t = ut \cos\theta$
3
对竖直位移应用匀加速公式，加速度为 $- g$ ：
4
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = ut \sin\theta - \frac{1}{2} g t^2$

结果:

水平运动和竖直运动完全相互独立，可以分别求解。

📐 例题

抛体以20 m/s的初速度沿水平方向上方30°角射出，求1.5秒后它的水平位移和竖直位移。

1
分解初速度分量：
2
$u_x = 20 \cos 30^\circ = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ m s}^{-1}, u_y = 20 \sin 30^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}$
3
计算水平位移（无加速度）：
4
$x = 17.32 \times 1.5 = 26.0 \text{ m (3位有效数字)}$
5
计算竖直位移：
6
$y = 10 \times 1.5 - 0.5 \times 9.8 \times (1.5)^2 = 15 - 11.025 = 3.98 \text{ m (3位有效数字)}$

2. 轨迹、最大高度和水平射程★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

Exam tip:

CIE考试几乎总会要求你先推导轨迹方程，再用它进行后续计算。

3. 斜面上的抛体运动★★★★☆⏱ 12 min

✓ 计算器

对于落在与水平方向成 $α$ 角的向上倾斜平面上的抛体，着陆点满足关系 $y = x tan α$ ，因为在水平位置 $x$ 处斜面的竖直高度为 $x tan α$ 。将其代入标准轨迹方程即可求解交点。

📐 例题

抛体以15 m/s的初速度沿水平方向上方45°角射出，落到与水平方向成20°角的斜面上，求沿斜面测量的射程。

1
写出该抛体的轨迹方程：
2
$y = x \tan 45^\circ - \frac{9.8 x^2}{2 \times 15^2 \cos^2 45^\circ} = x - \frac{9.8 x^2}{225}$
3
代入 $y = x tan 2 0^{\circ} \approx 0.364 x$ ：
4
$0.364x = x - 0.0436 x^2 \implies 0.636 x = 0.0436 x^2$
5
消去非零的 $x$ 项，求出水平着陆位置：
6
$x = 0.636 / 0.0436 \approx 14.59 \text{ m}$
7
计算沿斜面的射程：
8
$R_{\text{incline}} = \frac{x}{\cos 20^\circ} \approx 15.5 \text{ m (3位有效数字)}$

4. 抛体参数的优化★★★★☆⏱ 10 min

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✓ 快速检测

测试你对优化规则的理解：

当发射点和着陆点高度相同时，在水平面上获得最大射程的最优发射角是多少？
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
显示答案
45° —
水平射程公式中的 $sin 2 θ$ 项在 $2 θ = 9 0^{\circ}$ 时取最大值，因此 $θ = 4 5^{\circ}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

当定义向上为竖直正方向时使用 $g = + 9.8$

原因:

符号约定不匹配会导致物理上不可能的负高度和负时间值

正确做法:

在每道题的开头明确说明你的坐标轴设定，如果向上为正，就将竖直加速度设为 $- g$

错误做法:

将标准水平射程公式直接用于落在斜面上的抛体

原因:

标准结果 $R = u^{2} sin 2 θ / g$ 仅在发射高度和着陆高度完全相等时适用

正确做法:

将斜面关系 $y = x tan α$ 代入轨迹方程，从基本原理求解着陆位置

错误做法:

将重力加速度分解为水平分量和竖直分量

原因:

重力完全沿竖直方向作用，对于无空气阻力的无动力抛体，不存在水平方向的加速度分量

正确做法:

所有无阻力抛体问题都将水平加速度设为0

错误做法:

假设发射点和着陆点高度不同时，最大射程仍对应45°发射角

原因:

45°最优角结果是仅当发射和着陆高度相同时成立的特例

正确做法:

将射程表达式对 $θ$ 求导并令导数为0，为非标准边界条件求出最优角

错误做法:

在抛体运动学计算中包含质量项

原因:

重力加速度与质量无关，因此无空气阻力下抛体的运动完全不取决于其质量

正确做法:

在计算早期就消去所有质量项以简化运算

6. 速查表

物理量	水平面（发射/着陆高度相等）	向上倾斜平面（倾角 $α$ ）
飞行时间	$\frac{2 u s i n θ}{g}$	$\frac{2 u s i n ( θ - α )}{g c o s α}$
发射点上方的最大高度	$\frac{u ^{2} s i n ^{2} θ}{2 g}$	$\frac{u ^{2} s i n ^{2} ( θ - α )}{2 g c o s ^{2} α}$
总射程	$\frac{u ^{2} s i n 2 θ}{g}$	$\frac{2 u ^{2} s i n ( θ - α ) c o s θ}{g c o s ^{2} α}$
最大射程对应的最优发射角	$4 5^{\circ}$	$4 5^{\circ} + \frac{α}{2}$

7. 常见问题

考试中我直接引用标准抛体公式能得分吗？

只有当题目明确要求“直接写出”时，CIE考官才会为标准结果打满分。其他所有题目，你必须使用 $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 从基本原理推导结果，才能拿到全部方法分。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · Paper 4
斜面抛体射程
2023 · Paper 3
抛体轨迹推导
2022 · Paper 4
最优发射角计算

下一步

掌握抛体运动是CIE A-Level进阶数学所有后续运动学主题的关键基础。你将把这里学到的矢量分解和匀加速技巧与功能原理结合，解决经常出现在Paper 3和Paper 4中的15分以上的复杂扩展问答题。在继续学习之前，请确保你可以不参考速查表就从基本原理推导出所有标准抛体结果，因为CIE考官会明确为完整的推导步骤打分。这些知识将直接延伸到有阻力的运动、圆周运动和相对运动学。