# 抛体运动

> 进阶数学 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-motion-of-a-projectile/

本模块涵盖均匀重力下的二维抛体运动，包括核心运动学推导、轨迹方程、水平面和斜面上的射程，以及发射参数的优化。

**先修:** [匀加速下的一维运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-1d-constant-acceleration/); [力和速度的二维矢量分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-m1-vector-resolution/)

## 学习目标

- 在均匀重力加速度下从基本原理推导核心抛体运动方程
- 计算水平面上抛体的轨迹、最大高度、飞行时间和射程
- 求解向上和向下斜面上的抛体运动问题
- 在不同边界条件下找到使射程最大化的最优发射角

## 抛体运动的核心运动学方程

抛体运动假设不存在空气阻力，因此作用在质点上的唯一力是竖直向下的重力。这意味着水平加速度恒为0，若定义向上为正方向，竖直加速度为恒定值$-g$。

**斜向投射** — 质点以初速度$u$沿与水平方向成$\theta$角的方向射出，初速度可分解为相互独立的水平分量和竖直分量。

*记法:* $u_x = u\cos\theta, u_y = u\sin\theta$

**推导:** 推导抛体运动的位移分量

*起点:* 初速度分量$u_x = u\cos\theta$，$u_y = u\sin\theta$，$a_x = 0$，$a_y = -g$

1. 对水平位移应用匀加速公式，加速度为0：
2. $$x = u_x t = ut \cos\theta$$
3. 对竖直位移应用匀加速公式，加速度为$-g$：
4. $$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = ut \sin\theta - \frac{1}{2} g t^2$$

*结论:* 水平运动和竖直运动完全相互独立，可以分别求解。

**例题:** 抛体以20 m/s的初速度沿水平方向上方30°角射出，求1.5秒后它的水平位移和竖直位移。

1. 分解初速度分量：
2. $$u_x = 20 \cos 30^\circ = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ m s}^{-1}, u_y = 20 \sin 30^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}$$
3. 计算水平位移（无加速度）：
4. $$x = 17.32 \times 1.5 = 26.0 \text{ m (3位有效数字)}$$
5. 计算竖直位移：
6. $$y = 10 \times 1.5 - 0.5 \times 9.8 \times (1.5)^2 = 15 - 11.025 = 3.98 \text{ m (3位有效数字)}$$

*计算器:* forbidden

## 轨迹、最大高度和水平射程

> **考试提示:** CIE考试几乎总会要求你先推导轨迹方程，再用它进行后续计算。

*计算器:* allowed

## 斜面上的抛体运动

对于落在与水平方向成$\alpha$角的向上倾斜平面上的抛体，着陆点满足关系$y = x \tan \alpha$，因为在水平位置$x$处斜面的竖直高度为$x \tan \alpha$。将其代入标准轨迹方程即可求解交点。

**例题:** 抛体以15 m/s的初速度沿水平方向上方45°角射出，落到与水平方向成20°角的斜面上，求沿斜面测量的射程。

1. 写出该抛体的轨迹方程：
2. $$y = x \tan 45^\circ - \frac{9.8 x^2}{2 \times 15^2 \cos^2 45^\circ} = x - \frac{9.8 x^2}{225}$$
3. 代入$y = x \tan 20^\circ \approx 0.364 x$：
4. $$0.364x = x - 0.0436 x^2 \implies 0.636 x = 0.0436 x^2$$
5. 消去非零的$x$项，求出水平着陆位置：
6. $$x = 0.636 / 0.0436 \approx 14.59 \text{ m}$$
7. 计算沿斜面的射程：
8. $$R_{\text{incline}} = \frac{x}{\cos 20^\circ} \approx 15.5 \text{ m (3位有效数字)}$$

*计算器:* allowed

## 抛体参数的优化

> **斜面最优角规则**
>
> 要在倾角为$\alpha$的斜面上获得最大向上射程，最优发射角始终在竖直方向和斜面表面的中间位置，即$45^\circ + \frac{\alpha}{2}$。

**概念自测**

测试你对优化规则的理解：

1. 当发射点和着陆点高度相同时，在水平面上获得最大射程的最优发射角是多少？

   - 30°
   - 45°
   - 60°
   - 90°

   *解析:* 水平射程公式中的$\sin 2\theta$项在$2\theta = 90^\circ$时取最大值，因此$\theta = 45^\circ$。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 当定义向上为竖直正方向时使用$g = +9.8$
  - 原因: 符号约定不匹配会导致物理上不可能的负高度和负时间值
  - 正确做法: 在每道题的开头明确说明你的坐标轴设定，如果向上为正，就将竖直加速度设为$-g$
- **错误做法:** 将标准水平射程公式直接用于落在斜面上的抛体
  - 原因: 标准结果$R = u^2 \sin 2\theta / g$仅在发射高度和着陆高度完全相等时适用
  - 正确做法: 将斜面关系$y = x \tan \alpha$代入轨迹方程，从基本原理求解着陆位置
- **错误做法:** 将重力加速度分解为水平分量和竖直分量
  - 原因: 重力完全沿竖直方向作用，对于无空气阻力的无动力抛体，不存在水平方向的加速度分量
  - 正确做法: 所有无阻力抛体问题都将水平加速度设为0
- **错误做法:** 假设发射点和着陆点高度不同时，最大射程仍对应45°发射角
  - 原因: 45°最优角结果是仅当发射和着陆高度相同时成立的特例
  - 正确做法: 将射程表达式对$\theta$求导并令导数为0，为非标准边界条件求出最优角
- **错误做法:** 在抛体运动学计算中包含质量项
  - 原因: 重力加速度与质量无关，因此无空气阻力下抛体的运动完全不取决于其质量
  - 正确做法: 在计算早期就消去所有质量项以简化运算

## 速查表

| 物理量 | 水平面（发射/着陆高度相等） | 向上倾斜平面（倾角$\alpha$） |
| --- | --- | --- |
| 飞行时间 | $\frac{2u\sin\theta}{g}$ | $\frac{2u\sin(\theta-\alpha)}{g\cos\alpha}$ |
| 发射点上方的最大高度 | $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ | $\frac{u^2 \sin^2(\theta-\alpha)}{2g \cos^2 \alpha}$ |
| 总射程 | $\frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ | $\frac{2u^2 \sin(\theta-\alpha) \cos \theta}{g \cos^2 \alpha}$ |
| 最大射程对应的最优发射角 | $45^\circ$ | $45^\circ + \frac{\alpha}{2}$ |

## 下一步

掌握抛体运动是CIE A-Level进阶数学所有后续运动学主题的关键基础。你将把这里学到的矢量分解和匀加速技巧与功能原理结合，解决经常出现在Paper 3和Paper 4中的15分以上的复杂扩展问答题。在继续学习之前，请确保你可以不参考速查表就从基本原理推导出所有标准抛体结果，因为CIE考官会明确为完整的推导步骤打分。这些知识将直接延伸到有阻力的运动、圆周运动和相对运动学。

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