动量与冲量

CIE A-Level 进阶数学· Unit 3: Further Mechanics, Topic 1· 20 分钟阅读

1. 动量与冲量的核心定义★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

线动量

$p = m v$

是矢量，等于质点质量与速度的乘积，方向与质点速度方向一致。

例:

一个质量为2 kg的物体以 $3 m s^{- 1}$ 向右运动，动量为 $6 kg m s^{- 1}$ ，方向向右。

📘 定义

冲量

$J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t$

力在作用时间区间上的积分，是矢量，等于质点动量的总变化量。

例:

10 N的恒力作用2 s，冲量大小为 $20 Ns$ ，方向与力方向一致。

📐 例题

变力 $F (t) = 2 t + 4$ N作用在一个初始静止、质量为3 kg的直线运动质点上，求5秒后的末速度。

1
通过对力从 $t = 0$ 到 $t = 5$ 积分计算总冲量：
2
$J = \int_0^5 (2t + 4) dt = \left[t^2 + 4t\right]_0^5 = 25 + 20 = 45 \text{ Ns}$
3
应用冲量-动量原理，初始动量为0：
4
$J = mv - 0 \implies v = \frac{J}{m} = \frac{45}{3} = 15 \text{ m s}^{-1}$

2. 冲量-动量原理★★★☆☆⏱ 7 min

冲量-动量原理直接由牛顿第二定律推导得出，适用于恒力和变力，也适用于多维矢量运动。

🔬 推导

目标:

从牛顿第二定律推导冲量-动量原理

起点:

牛顿第二定律： $F = \frac{d p}{d t}$

1
整理后对两边从初始时刻 $t_{1}$ 到末时刻 $t_{2}$ 积分：
2
$\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \int_{p_1}^{p_2} d\vec{p}$

结果:

计算积分得 $J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t = p_{2} - p_{1} = Δ p$ ，因此冲量等于动量变化量。

📐 例题

一个质量为0.5 kg的球初始速度为 $(43)$ m s⁻¹，球棒对它施加了大小为 $(2 - 5)$ Ns的冲量，求它的末速度。

1
整理冲量-动量原理求解末速度 $v_{2}$ ：
2
$\vec{J} = m(\vec{v_2} - \vec{v_1}) \implies \vec{v_2} = \vec{v_1} + \frac{\vec{J}}{m}$
3
代入已知的质量、初速度和冲量数值：
4
$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{0.5}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \end{pmatrix}$
5
矢量相加得到最终结果：
6
$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \end{pmatrix} \text{ m s}^{-1}$

3. 线动量守恒定律★★☆☆☆⏱ 6 min

对于不受合外力作用的质点孤立系统，系统的总线动量保持不变。质点之间的内力不会改变总动量，因为内力成对出现、大小相等方向相反（牛顿第三定律）。

📐 例题

两个质点A（质量2 kg）和B（质量3 kg）沿同一直线相向运动，A的初速率为5 m s⁻¹，B的初速率为2 m s⁻¹。碰撞后，A以1 m s⁻¹的速率沿原方向的反方向运动，求B的末速率。

1
取A的原运动方向为正方向，写出总初动量：
2
$p_{init} = m_A u_A + m_B u_B = (2)(5) + (3)(-2) = 10 - 6 = 4 \text{ kg m s}^{-1}$
3
写出总末动量，A的末速度为 -1 m s⁻¹：
4
$p_{final} = (2)(-1) + 3v_B = -2 + 3v_B$
5
初动量等于末动量（无外力作用）：
6
$4 = -2 + 3v_B \implies v_B = 2 \text{ m s}^{-1}$

4. 与固定光滑表面的碰撞★★★★☆⏱ 8 min

当光滑质点与固定表面碰撞时，由于不存在平行于表面的摩擦力，冲量仅沿垂直于表面的方向作用。这意味着质点动量（和速度）的平行分量在碰撞过程中保持不变。

📐 例题

一个质量为m的光滑球以速率 $102$ m s⁻¹、45°角撞击水平面，平面对球的冲量为14m Ns，求反弹速度与水平面的夹角。

1
将初速度分解为平行于平面的分量和垂直于平面的分量（指向平面为正方向）：
2
$u_{parallel} = 10\sqrt{2} \cos 45^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}, \quad u_{perpendicular} = 10\sqrt{2} \sin 45^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}$
3
平行分量不变，因此 $v_{p a r a l l e l} = 10$ m s⁻¹。利用冲量等于垂直方向动量变化（末速度远离平面，因此为负）：
4
$J = (-mv_{perp}) - (-m u_{perp}) = m v_{perp} + 10m$
5
代入J = 14m，求解 $v_{p er p}$ ：
6
$14m = m v_{perp} + 10m \implies v_{perp} = 4 \text{ m s}^{-1}$
7
计算反弹速度与平面的夹角 $θ$ ：
8
$\tan\theta = \frac{v_{perp}}{v_{parallel}} = \frac{4}{10} = 0.4 \implies \theta \approx 21.8^\circ$

5. 常见陷阱

错误做法:

在二维问题中直接对动量模长相加，而非对矢量分量相加

原因:

动量是矢量，必须通过分量考虑方向

正确做法:

将所有动量矢量分解到互相垂直的分量，对分量进行加减，保持符号约定一致

错误做法:

计算反弹冲量时混淆速度的符号方向

原因:

动量变化是末动量减初动量，符号错误会导致冲量大小错误

正确做法:

解题前先定义固定正方向，计算 $Δ p$ 时代入速度正确的符号

错误做法:

存在合外力时仍应用动量守恒定律

原因:

动量守恒仅适用于无合外力的孤立系统

正确做法:

应用动量守恒前先检查是否存在外力（例如重力、固定表面的冲量）

错误做法:

将冲量当作标量处理，忽略其方向

原因:

冲量和动量一样遵循矢量规则，方向在二维问题中至关重要

正确做法:

始终将冲量表示为矢量，二维计算时分解为分量

6. 速查表

概念	公式	要点
线动量	$p = m v$	矢量，单位：kg m s⁻¹ = Ns
冲量（恒力）	$J = F Δ t$	矢量，大小 = 力 × 作用时间
冲量（变力）	$J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t$	等于F-t图像下的面积
冲量-动量原理	$J = Δ p = p_{2} - p_{1}$	由牛顿第二定律推导得出
动量守恒定律	$\sum p_{ini t} = \sum p_{f ina l}$	无合外力作用时成立
与固定光滑表面碰撞	平行动量守恒	冲量仅沿垂直于表面方向作用

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syllabusCIE 9231 进阶数学大纲第三单元主题的官方参考资料

下一步

动量与冲量是CIE 9231进阶力学中所有碰撞和变力问题的基础。本子主题直接延伸到两个运动质点之间的斜碰撞，你需要结合动量守恒和恢复系数求解二维碰撞问题。掌握矢量动量和冲量也是学习变力功能关系、连接质点运动、圆周运动中的碰撞等主题的前提。始终一致地应用符号约定和矢量分量分解，能帮助你在这些高分值考题中拿到满分。