# 动量与冲量

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231 进阶力学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-momentum-and-impulse/

本子主题拓展了核心动量概念，涵盖变力冲量、二维碰撞和动量守恒，相关知识点在CIE 9231进阶力学试卷中频繁考察。

**先修:** [核心A-Level线动量与冲量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-mechanics-momentum-impulse/)

## 学习目标

- 计算恒力和变力的线动量与冲量
- 将冲量-动量原理应用于一维和二维运动
- 解决质点与固定表面碰撞相关问题
- 对孤立系统应用线动量守恒定律

## 动量与冲量的核心定义

**线动量** — 是矢量，等于质点质量与速度的乘积，方向与质点速度方向一致。

*记法:* $\vec{p} = m\vec{v}$

*例:* 一个质量为2 kg的物体以$3 \text{ m s}^{-1}$向右运动，动量为$6 \text{ kg m s}^{-1}$，方向向右。

**冲量** — 力在作用时间区间上的积分，是矢量，等于质点动量的总变化量。

*记法:* $\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) dt$

*例:* 10 N的恒力作用2 s，冲量大小为$20 \text{ Ns}$，方向与力方向一致。

**例题:** 变力$F(t) = 2t + 4$ N作用在一个初始静止、质量为3 kg的直线运动质点上，求5秒后的末速度。

1. 通过对力从$t=0$到$t=5$积分计算总冲量：
2. $$J = \int_0^5 (2t + 4) dt = \left[t^2 + 4t\right]_0^5 = 25 + 20 = 45 \text{ Ns}$$
3. 应用冲量-动量原理，初始动量为0：
4. $$J = mv - 0 \implies v = \frac{J}{m} = \frac{45}{3} = 15 \text{ m s}^{-1}$$

## 冲量-动量原理

冲量-动量原理直接由牛顿第二定律推导得出，适用于恒力和变力，也适用于多维矢量运动。

**推导:** 从牛顿第二定律推导冲量-动量原理

*起点:* 牛顿第二定律：$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

1. 整理后对两边从初始时刻$t_1$到末时刻$t_2$积分：
2. $$\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \int_{p_1}^{p_2} d\vec{p}$$

*结论:* 计算积分得$\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = p_2 - p_1 = \Delta \vec{p}$，因此冲量等于动量变化量。

**例题:** 一个质量为0.5 kg的球初始速度为$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ m s⁻¹，球棒对它施加了大小为$\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}$ Ns的冲量，求它的末速度。

1. 整理冲量-动量原理求解末速度$\vec{v_2}$：
2. $$\vec{J} = m(\vec{v_2} - \vec{v_1}) \implies \vec{v_2} = \vec{v_1} + \frac{\vec{J}}{m}$$
3. 代入已知的质量、初速度和冲量数值：
4. $$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{0.5}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \end{pmatrix}$$
5. 矢量相加得到最终结果：
6. $$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \end{pmatrix} \text{ m s}^{-1}$$

## 线动量守恒定律

对于不受合外力作用的质点孤立系统，系统的总线动量保持不变。质点之间的内力不会改变总动量，因为内力成对出现、大小相等方向相反（牛顿第三定律）。

> **tip**
>
> 在二维问题中，将所有动量分解到互相垂直的x分量和y分量，每个分量各自守恒。

**例题:** 两个质点A（质量2 kg）和B（质量3 kg）沿同一直线相向运动，A的初速率为5 m s⁻¹，B的初速率为2 m s⁻¹。碰撞后，A以1 m s⁻¹的速率沿原方向的反方向运动，求B的末速率。

1. 取A的原运动方向为正方向，写出总初动量：
2. $$p_{init} = m_A u_A + m_B u_B = (2)(5) + (3)(-2) = 10 - 6 = 4 \text{ kg m s}^{-1}$$
3. 写出总末动量，A的末速度为 -1 m s⁻¹：
4. $$p_{final} = (2)(-1) + 3v_B = -2 + 3v_B$$
5. 初动量等于末动量（无外力作用）：
6. $$4 = -2 + 3v_B \implies v_B = 2 \text{ m s}^{-1}$$

## 与固定光滑表面的碰撞

当光滑质点与固定表面碰撞时，由于不存在平行于表面的摩擦力，冲量仅沿垂直于表面的方向作用。这意味着质点动量（和速度）的平行分量在碰撞过程中保持不变。

**例题:** 一个质量为m的光滑球以速率$10\sqrt{2}$ m s⁻¹、45°角撞击水平面，平面对球的冲量为14m Ns，求反弹速度与水平面的夹角。

1. 将初速度分解为平行于平面的分量和垂直于平面的分量（指向平面为正方向）：
2. $$u_{parallel} = 10\sqrt{2} \cos 45^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}, \quad u_{perpendicular} = 10\sqrt{2} \sin 45^\circ = 10 \text{ m s}^{-1}$$
3. 平行分量不变，因此$v_{parallel} = 10$ m s⁻¹。利用冲量等于垂直方向动量变化（末速度远离平面，因此为负）：
4. $$J = (-mv_{perp}) - (-m u_{perp}) = m v_{perp} + 10m$$
5. 代入J = 14m，求解$v_{perp}$：
6. $$14m = m v_{perp} + 10m \implies v_{perp} = 4 \text{ m s}^{-1}$$
7. 计算反弹速度与平面的夹角$\theta$：
8. $$\tan\theta = \frac{v_{perp}}{v_{parallel}} = \frac{4}{10} = 0.4 \implies \theta \approx 21.8^\circ$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在二维问题中直接对动量模长相加，而非对矢量分量相加
  - 原因: 动量是矢量，必须通过分量考虑方向
  - 正确做法: 将所有动量矢量分解到互相垂直的分量，对分量进行加减，保持符号约定一致
- **错误做法:** 计算反弹冲量时混淆速度的符号方向
  - 原因: 动量变化是末动量减初动量，符号错误会导致冲量大小错误
  - 正确做法: 解题前先定义固定正方向，计算$\Delta p$时代入速度正确的符号
- **错误做法:** 存在合外力时仍应用动量守恒定律
  - 原因: 动量守恒仅适用于无合外力的孤立系统
  - 正确做法: 应用动量守恒前先检查是否存在外力（例如重力、固定表面的冲量）
- **错误做法:** 将冲量当作标量处理，忽略其方向
  - 原因: 冲量和动量一样遵循矢量规则，方向在二维问题中至关重要
  - 正确做法: 始终将冲量表示为矢量，二维计算时分解为分量

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 线动量 | $\vec{p} = m\vec{v}$ | 矢量，单位：kg m s⁻¹ = Ns |
| 冲量（恒力） | $\vec{J} = \vec{F} \Delta t$ | 矢量，大小 = 力 × 作用时间 |
| 冲量（变力） | $\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) dt$ | 等于F-t图像下的面积 |
| 冲量-动量原理 | $\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$ | 由牛顿第二定律推导得出 |
| 动量守恒定律 | $\sum \vec{p}_{init} = \sum \vec{p}_{final}$ | 无合外力作用时成立 |
| 与固定光滑表面碰撞 | 平行动量守恒 | 冲量仅沿垂直于表面方向作用 |

## 下一步

动量与冲量是CIE 9231进阶力学中所有碰撞和变力问题的基础。本子主题直接延伸到两个运动质点之间的斜碰撞，你需要结合动量守恒和恢复系数求解二维碰撞问题。掌握矢量动量和冲量也是学习变力功能关系、连接质点运动、圆周运动中的碰撞等主题的前提。始终一致地应用符号约定和矢量分量分解，能帮助你在这些高分值考题中拿到满分。

- [功与能量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-work-and-energy/)
- [圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-circular-motion/)
- [刚体平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-equilibrium-of-rigid-bodies/)

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