变力作用下的直线运动

CIE A-Level 进阶数学· 25 分钟阅读

1. 作为时间函数的力F(t)★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

对于显式随时间变化的力，牛顿第二定律 $F = ma$ 可以改写为 $a = F (t) / m$ 。由于加速度是速度的变化率，你可以直接对时间积分求出速度，再对速度积分求出位移。

📘 定义

时变力的冲量

$J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t$

质点在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 区间内受 $F (t)$ 作用获得的总动量变化量

例:

大小为 $F (t) = 2 t$ N的力作用3秒，总冲量为9 Ns

📐 例题

质量为0.5 kg的质点沿直线运动，受力 $F (t) = 6 t + 2$ N作用，其中t为时间，单位为秒。已知t=0时初速度 $u = 2$ m/s，求t=3时的速度。

1
应用牛顿第二定律分离出加速度：
$0.5a = 6t + 2 \implies a = 12t + 4$
2
使用 $a = d v / d t$ 分离变量准备积分：
$\int dv = \int (12t + 4) dt$
3
计算不定积分并代入t=0时v=2的初始条件：
$v = 6t^2 + 4t + 2$
4
代入t=3求出最终速度：
$v = 6(9) + 4(3) + 2 = 68 \text{ m s}^{-1}$

✓ 快速检测

测试你对F(t)类运动的理解

质量2kg的质点受力 $F (t) = 4 t$ N作用，从静止开始运动，求t=2时的速度是多少？
- A) 2 m/s
- B) 4 m/s
- C) 8 m/s
- D) 16 m/s
显示答案
B —
加速度 $a = F / m = 2 t$ ，从t=0到t=2积分可得 $v = t^{2} = 4$ m/s

Exam tip:

CIE经常要求计算方向变化的时变力对应的最大速度：令 $a = d v / d t = 0$ 即可求出对应的临界时间。

2. 作为位移函数的力F(x)★★★☆☆⏱ 9 min

✓ 计算器

当力仅与质点位置相关时，直接使用 $a = d v / d t$ 会得到没有显式时间项的方程。此时改用链式法则恒等式 $a = v \frac{d v}{d x}$ ，即可将微分方程改写为仅含v和x的形式。

🔬 推导

目标:

推导位移相关力的功能原理

起点:

牛顿第二定律 $F (x) = ma$

1
代入链式法则的加速度恒等式：
$F(x) = m v \frac{dv}{dx}$
2
整理后分离变量：
$F(x) dx = m v dv$
3
在初始状态 $(x_{1}, v_{1})$ 和末状态 $(x_{2}, v_{2})$ 之间对两侧积分：
$\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx = \int_{v_1}^{v_2} mv dv$

结果:

F(x)沿位移的积分等于质点动能的变化量，无需进行时间相关计算。

📐 例题

质量为1 kg的质点沿x轴运动，受力 $F (x) = 12 - 4 x$ N作用，其中x为位移，单位为米。质点在x=0处从静止开始运动，求x=3时的速度。

1
代入牛顿第二定律，使用 $a = v d v / d x$ ：
$12 - 4x = v \frac{dv}{dx}$
2
分离变量并设置积分上下限：
$\int_0^3 (12 - 4x) dx = \int_0^v v dv$
3
计算左侧力的积分：
$\left[12x - 2x^2\right]_0^3 = 36 - 18 = 18$
4
计算右侧动能的积分：
$\left[\frac{1}{2}v^2\right]_0^v = \frac{1}{2}v^2$
5
联立求解v：
$18 = \frac{1}{2}v^2 \implies v = 6 \text{ m s}^{-1}$

3. 作为速度函数的力F(v)★★★★☆⏱ 10 min

🚫 计算器禁用

这类情况最常见于速度相关阻力的运动，例如与v或v²成正比的空气阻力。你需要根据题目要求选择对应的加速度恒等式：使用 $a = d v / d t$ 求解时间，使用 $a = v d v / d x$ 求解位移。

📐 例题

质量为2 kg的质点沿直线运动，受到大小为3v N的阻力作用，v为速度，无其他外力。初速度为10 m/s，求速度降至2 m/s所需的时间。

1
应用牛顿第二定律，阻力与运动方向相反，添加负号：
$-3v = 2 \frac{dv}{dt}$
2
整理为可分离变量的微分方程：
$\int dt = -\frac{2}{3} \int \frac{dv}{v}$
3
积分后代入t=0、v=10的初始条件求常数C：
$t = -\frac{2}{3} \ln v + \frac{2}{3} \ln 10$
4
代入v=2并化简：
$t = \frac{2}{3} \left(\ln 10 - \ln 2\right) = \frac{2}{3} \ln 5 \approx 1.07 \text{ s}$

✓ 快速检测

快速检验你对F(v)类运动的理解

对于上题中的质点，要计算速度降至2 m/s前经过的位移，应该使用哪个代换？
- A) a = dv/dt
- B) a = v dv/dx
- C) a = d²x/dt²
- D) 直接使用F=ma
显示答案
B —
由于你需要求解位移作为速度的函数，v dv/dx恒等式是最高效的方法。

4. 常见陷阱

错误做法:

在F(x)类问题中使用a=dv/dt并尝试对时间积分

原因:

F(x)没有显式时间依赖，你无法在不添加额外步骤的情况下关联x和t，最终得到无法求解的方程。

正确做法:

对于所有仅为位移函数的力，始终使用a=v dv/dx代换。

错误做法:

在F(v)类问题中忘记给阻力添加负号

原因:

这会得到速度指数增长而非衰减的结果，完全不符合物理规律，丢失绝大多数步骤分。

正确做法:

将正方向定义为运动方向，所有阻力项都取负号。

错误做法:

将匀加速运动的SUVAT公式应用于变力问题

原因:

SUVAT公式仅在加速度恒定的条件下成立，所有变力场景都不满足该条件。

正确做法:

根据力的类型，通过积分求解对应的微分方程。

错误做法:

在F=ma中使用克作为质量单位而非千克

原因:

即使所有积分步骤完全正确，得到的加速度也会比正确值大1000倍。

正确做法:

在书写任何方程之前，先将所有质量值转换为千克。

错误做法:

跳过积分常数，不代入初始条件

原因:

你的通解会带有未知常数，无法得到题目要求的数值结果。

正确做法:

积分完成后立即代入给定的初始值（例如t=0时v=u）求出常数C。

5. 速查表

力的类型	使用的加速度恒等式	积分公式
F(t)	a = dv/dt	$v = \frac{1}{m} \int F (t) d t + C$
F(x)	a = v dv/dx	$\frac{1}{2} m v^{2} = \int F (x) d x + C$
F(v)	a = dv/dt（求时间）	$t = m \int \frac{d v}{F ( v )} + C$
F(v)	a = v dv/dx（求位移）	$x = m \int \frac{v d v}{F ( v )} + C$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · 4
结合功能原理的F(x)运动问题
2023 · 3
与速度相关的阻力运动问题
2022 · 4
时变力的冲量计算问题

下一步

掌握变力作用下的直线运动是学习后续进阶力学知识点的关键，包括变速圆周运动、简谐运动推导、带空气阻力的竖直运动等内容。该技能也为将功能原理拓展到二维系统和刚体动力学打下基础，这类知识点经常出现在CIE A2试卷中分值超过15分的长问答题中。你可以使用关联模块巩固理解，在考前提升解题速度。