# 变力作用下的直线运动

> CIE A-Level 进阶数学 · CIE A-Level 进阶数学 9231
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-linear-motion-under-a-variable/

本模块求解力随时间、速度或位移变化的直线运动问题，包含v dv/dx代换、功能原理应用以及符合考试标准的解题流程。

**先修:** [匀加速直线运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-mechanics-constant-acceleration/); [可分离变量的一阶微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-fp1-separable-differential-equations/)

## 学习目标

- 将变力与加速度关联为位移、速度或时间的函数
- 使用v dv/dx代换求解运动相关的一阶微分方程
- 将功能原理应用于变力直线运动问题
- 从随时间变化的变力中计算冲量和动量变化

## 作为时间函数的力F(t)

对于显式随时间变化的力，牛顿第二定律$F=ma$可以改写为$a=F(t)/m$。由于加速度是速度的变化率，你可以直接对时间积分求出速度，再对速度积分求出位移。

**时变力的冲量** — 质点在$t_1$到$t_2$区间内受$F(t)$作用获得的总动量变化量

*记法:* $J = \int_{t_1}^{t_2} F(t) dt$

*例:* 大小为$F(t)=2t$ N的力作用3秒，总冲量为9 Ns

**例题:** 质量为0.5 kg的质点沿直线运动，受力$F(t)=6t+2$ N作用，其中t为时间，单位为秒。已知t=0时初速度$u=2$ m/s，求t=3时的速度。

1. 应用牛顿第二定律分离出加速度：

   $$0.5a = 6t + 2 \implies a = 12t + 4$$
2. 使用$a=dv/dt$分离变量准备积分：

   $$\int dv = \int (12t + 4) dt$$
3. 计算不定积分并代入t=0时v=2的初始条件：

   $$v = 6t^2 + 4t + 2$$
4. 代入t=3求出最终速度：

   $$v = 6(9) + 4(3) + 2 = 68 \text{ m s}^{-1}$$

**概念自测**

测试你对F(t)类运动的理解

1. 质量2kg的质点受力$F(t)=4t$ N作用，从静止开始运动，求t=2时的速度是多少？

   - A) 2 m/s
   - B) 4 m/s
   - C) 8 m/s
   - D) 16 m/s

   *解析:* 加速度$a=F/m=2t$，从t=0到t=2积分可得$v=t^2=4$ m/s

> **考试提示:** CIE经常要求计算方向变化的时变力对应的最大速度：令$a=dv/dt=0$即可求出对应的临界时间。

*计算器:* allowed

## 作为位移函数的力F(x)

当力仅与质点位置相关时，直接使用$a=dv/dt$会得到没有显式时间项的方程。此时改用链式法则恒等式$a = v \frac{dv}{dx}$，即可将微分方程改写为仅含v和x的形式。

**推导:** 推导位移相关力的功能原理

*起点:* 牛顿第二定律$F(x)=ma$

1. 代入链式法则的加速度恒等式：

   $$F(x) = m v \frac{dv}{dx}$$
2. 整理后分离变量：

   $$F(x) dx = m v dv$$
3. 在初始状态$(x_1,v_1)$和末状态$(x_2,v_2)$之间对两侧积分：

   $$\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx = \int_{v_1}^{v_2} mv dv$$

*结论:* F(x)沿位移的积分等于质点动能的变化量，无需进行时间相关计算。

**例题:** 质量为1 kg的质点沿x轴运动，受力$F(x)=12-4x$ N作用，其中x为位移，单位为米。质点在x=0处从静止开始运动，求x=3时的速度。

1. 代入牛顿第二定律，使用$a=v dv/dx$：

   $$12 - 4x = v \frac{dv}{dx}$$
2. 分离变量并设置积分上下限：

   $$\int_0^3 (12 - 4x) dx = \int_0^v v dv$$
3. 计算左侧力的积分：

   $$\left[12x - 2x^2\right]_0^3 = 36 - 18 = 18$$
4. 计算右侧动能的积分：

   $$\left[\frac{1}{2}v^2\right]_0^v = \frac{1}{2}v^2$$
5. 联立求解v：

   $$18 = \frac{1}{2}v^2 \implies v = 6 \text{ m s}^{-1}$$

**考试命令词**

CIE在该考点使用特定的指令词明确要求你完成的推导步骤：

- **Show that the speed of the particle at position x is...** — 你必须完整推导微分方程并分步积分，不能直接引用功能原理公式来获得全部分数

*计算器:* allowed

## 作为速度函数的力F(v)

这类情况最常见于速度相关阻力的运动，例如与v或v²成正比的空气阻力。你需要根据题目要求选择对应的加速度恒等式：使用$a=dv/dt$求解时间，使用$a=v dv/dx$求解位移。

> **代换规则记忆口诀**
>
> 求时间，用a=dv/dt；求位移(x)，用a=v dv/dx

**例题:** 质量为2 kg的质点沿直线运动，受到大小为3v N的阻力作用，v为速度，无其他外力。初速度为10 m/s，求速度降至2 m/s所需的时间。

1. 应用牛顿第二定律，阻力与运动方向相反，添加负号：

   $$-3v = 2 \frac{dv}{dt}$$
2. 整理为可分离变量的微分方程：

   $$\int dt = -\frac{2}{3} \int \frac{dv}{v}$$
3. 积分后代入t=0、v=10的初始条件求常数C：

   $$t = -\frac{2}{3} \ln v + \frac{2}{3} \ln 10$$
4. 代入v=2并化简：

   $$t = \frac{2}{3} \left(\ln 10 - \ln 2\right) = \frac{2}{3} \ln 5 \approx 1.07 \text{ s}$$

**概念自测**

快速检验你对F(v)类运动的理解

1. 对于上题中的质点，要计算速度降至2 m/s前经过的位移，应该使用哪个代换？

   - A) a = dv/dt
   - B) a = v dv/dx
   - C) a = d²x/dt²
   - D) 直接使用F=ma

   *解析:* 由于你需要求解位移作为速度的函数，v dv/dx恒等式是最高效的方法。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 在F(x)类问题中使用a=dv/dt并尝试对时间积分
  - 原因: F(x)没有显式时间依赖，你无法在不添加额外步骤的情况下关联x和t，最终得到无法求解的方程。
  - 正确做法: 对于所有仅为位移函数的力，始终使用a=v dv/dx代换。
- **错误做法:** 在F(v)类问题中忘记给阻力添加负号
  - 原因: 这会得到速度指数增长而非衰减的结果，完全不符合物理规律，丢失绝大多数步骤分。
  - 正确做法: 将正方向定义为运动方向，所有阻力项都取负号。
- **错误做法:** 将匀加速运动的SUVAT公式应用于变力问题
  - 原因: SUVAT公式仅在加速度恒定的条件下成立，所有变力场景都不满足该条件。
  - 正确做法: 根据力的类型，通过积分求解对应的微分方程。
- **错误做法:** 在F=ma中使用克作为质量单位而非千克
  - 原因: 即使所有积分步骤完全正确，得到的加速度也会比正确值大1000倍。
  - 正确做法: 在书写任何方程之前，先将所有质量值转换为千克。
- **错误做法:** 跳过积分常数，不代入初始条件
  - 原因: 你的通解会带有未知常数，无法得到题目要求的数值结果。
  - 正确做法: 积分完成后立即代入给定的初始值（例如t=0时v=u）求出常数C。

## 速查表

| 力的类型 | 使用的加速度恒等式 | 积分公式 |
| --- | --- | --- |
| F(t) | a = dv/dt | $v = \frac{1}{m} \int F(t) dt + C$ |
| F(x) | a = v dv/dx | $\frac{1}{2}mv^2 = \int F(x) dx + C$ |
| F(v) | a = dv/dt（求时间） | $t = m \int \frac{dv}{F(v)} + C$ |
| F(v) | a = v dv/dx（求位移） | $x = m \int \frac{v dv}{F(v)} + C$ |

## 下一步

掌握变力作用下的直线运动是学习后续进阶力学知识点的关键，包括变速圆周运动、简谐运动推导、带空气阻力的竖直运动等内容。该技能也为将功能原理拓展到二维系统和刚体动力学打下基础，这类知识点经常出现在CIE A2试卷中分值超过15分的长问答题中。你可以使用关联模块巩固理解，在考前提升解题速度。

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