刚体平衡

进阶数学· 第三单元进阶力学，主题4· 25 分钟阅读

1. 共面平衡的条件★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

刚体平衡

当满足两个条件时刚体处于静平衡：1) 所有外力的矢量和为零，2) 所有外力对任意点的力矩和为零。

例:

静止靠在墙上的梯子处于静平衡状态。

对于共面力，我们可以将力平衡分解为水平和竖直分量，得到三个独立的标量方程：对任意点 $P$ ，有 $\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$ , $\sum M_{P} = 0$ 。

📐 例题

一根长5m的均匀杆，重力10N，作用于重心。杆分别在 $x = 0$ 处（向上反力10N）和 $x = 5$ m处（向上反力 $R$ N）被支撑，在 $x = 2$ m处悬挂一个重物 $W$ 。求平衡时 $W$ 的值。

1
首先应用竖直方向的力平衡：
2
$\text{Sum of upward forces} = \text{Sum of downward forces} \\ 10 + R = 10 + W \\ R = W$
3
对 $x = 0$ 取力矩，消去支点处10N的反作用力：
4
$\ ext{Sum } M_0 = 0 \\ -W(2) - 10(2.5) + R(5) = 0$
5
代入 $R = W$ 求解 $W$ ：
6
$-2W -25 + 5W = 0 \\ 3W = 25 \\ W = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ N}$

2. 悬挂刚体的平衡★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

悬挂刚体平衡

当刚体从固定支点自由悬挂并处于平衡状态时，其重心位于支点的正下方。

利用这条规则，我们可以通过连接支点和重心的直线，用三角学计算悬挂体与竖直/水平方向的夹角。

📐 例题

一块均匀矩形薄板，长边长4cm，短边长3cm，从一个顶角自由悬挂。求长边与竖直方向的夹角。

1
均匀矩形的重心在其几何中心，相对于悬挂顶角，重心沿长边方向距离为2cm，沿短边方向距离为1.5cm。
2
设 $θ$ 为长边与竖直方向的夹角。连接支点和重心的直线是竖直的，因此：
3
$\tan\theta = \frac{\text{horizontal offset from pivot}}{\text{vertical offset from pivot}} = \frac{1.5}{2} = 0.75$
4
计算角度：
5
$\theta = \arctan(0.75) \approx 36.9^\circ$

3. 倾斜梯子的平衡★★★★☆⏱ 10 min

倾斜梯子是本知识点最常见的考题类型之一。对于每个接触面，都要添加垂直于表面的法向反力，如果表面粗糙，还要添加平行于表面的摩擦力。

光滑墙没有摩擦力，只有水平法向反力
粗糙地面既有竖直法向反力，也有防止滑动的水平摩擦力
均匀梯子的重力作用于中点

📐 例题

一根长4m、质量10kg的均匀梯子靠在光滑竖直墙上，底部放在粗糙水平地面上。梯子与水平方向成60°角，求地面的摩擦力大小。

1
标注所有力： $R$ （墙的法向反力，水平向右）， $N$ （地面的法向反力，竖直向上）， $F$ （地面摩擦力，水平向左），重力 $m g = 10 g$ （竖直向下，作用于中点）。
2
应用力平衡：
3
$\sum F_x = 0 \implies R - F = 0 \implies F = R \\ \sum F_y = 0 \implies N - 10g = 0 \implies N = 10g$
4
对梯子底部取力矩，消去 $F$ 和 $N$ ：
5
$\sum M_{\text{base}} = 0 \implies R(4\sin 60^\circ) - 10g(2\cos 60^\circ) = 0$
6
代入 $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 和 $cos 6 0^{\circ} = 0.5$ ：
7
$R(2\sqrt{3}) = 10g(0.5) \\ F = R = \frac{5g}{\sqrt{3}} \approx 28.3 \text{ N}$

Exam tip:

写方程前一定要先标注所有力。最常见的错误是忘记粗糙接触面的摩擦力，这会导致所有平衡计算出错。

4. 多支撑梁★★★☆☆⏱ 7 min

对于被两个或更多点支撑的梁，我们用相同的三个平衡条件求解未知反作用力。无论梁是均匀还是非均匀，方法都相同。

📐 例题

一根长6m、质量20kg的均匀梁架在两个支撑上：一个在左端，一个在距离右端1m处。求每个支撑的反作用力大小。

1
设 $R_{1}$ 为左端反力， $R_{2}$ 为第二个支撑（距离左端5m）的反力。重力 $20 g$ 作用于中点，距离左端3m。
2
应用竖直方向力平衡：
3
$R_1 + R_2 = 20g$
4
对左端取力矩，消去 $R_{1}$ ：
5
$\sum M_{\text{left}} = 0 \implies 5R_2 - 3(20g) = 0 \\ 5R_2 = 60g \\ R_2 = 12g = 117.6 \text{ N}$
6
回代求解 $R_{1}$ ：
7
$R_1 = 20g - 12g = 8g = 78.4 \text{ N}$

5. 常见陷阱

错误做法:

墙和地面都粗糙的梯子问题中，忘记其中一个粗糙接触面的摩擦力。

原因:

遗漏任何力都会导致平衡方程不成立，得到错误结果。

正确做法:

标注每个接触点：添加垂直于表面的法向反力，所有粗糙接触都要添加平行于表面的摩擦力。

错误做法:

力矩计算中使用沿杆的长度，而不是垂直距离。

原因:

力矩的定义是力乘以支点到力的垂直距离，不是沿物体的距离。

正确做法:

始终计算距离的垂直分量，或将力分解为垂直于杆的分量来计算力矩。

错误做法:

假设非均匀杆的重心在中点。

原因:

考题经常用非均匀物体考察这一点，假设重心在中点会得到错误的重力力矩。

正确做法:

始终检查题目是否说明物体是均匀的。如果是非均匀，题目会给出重心位置。

错误做法:

有三个未知量时，只写两个平衡方程就停止求解。

原因:

共面平衡有三个独立方程，因此需要三个方程才能求解三个未知量。

正确做法:

尝试求解方程组前，先写出全部三个方程（ $\sum F_{x}$ , $\sum F_{y}$ , $\sum M$ ）。

6. 速查表

条件	结果/方程
平动平衡	$\sum F_{x} = 0, \sum F_{y} = 0$
转动平衡	$\sum M_{P} = 0$ for any point $P$
悬挂体平衡	重心位于支点正下方
法向反作用力	始终垂直于接触面
摩擦力	始终平行于接触面，阻碍滑动

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 31
梯子平衡问题
2023 · 32
悬挂薄板平衡
2024 · 31
支撑梁平衡

深入阅读

syllabus官方CIE 9231大纲完整主题大纲参考

下一步

刚体平衡是所有刚体力学后续内容的核心基础。你在这里练习的力分解和力矩计算技巧，会直接用于刚体转动动力学等知识点，而后者是进阶力学试卷的重要组成部分。本知识点在CIE 9231考试中分值占比一直很高，因此掌握所有常见题型（梯子、悬挂薄板、梁）对取得高分至关重要。扎实掌握平衡知识会让更高级的动力学知识点更容易学习。