# 刚体平衡

> 进阶数学 · CIE A-Level 进阶数学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-equilibrium-of-rigid-bodies/

本模块讲解共面力作用下刚体的静平衡条件。你将学习力的分解、力矩计算，并解决梯子、悬挂杆和支撑梁等常见考题。

**先修:** [力的分解与牛顿第一定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-forces-newtons-laws/); [力的力矩计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-moment-of-a-force/)

## 学习目标

- 陈述并应用共面力作用下刚体平衡的两个条件
- 在刚体问题中计算力对任意支点的力矩
- 解决常见考题，包括悬挂薄板、倾斜梯子和支撑梁问题
- 求解平衡状态下刚体的未知反作用力、张力和角度

## 共面平衡的条件

**刚体平衡** — 当满足两个条件时刚体处于静平衡：1) 所有外力的矢量和为零，2) 所有外力对任意点的力矩和为零。

*例:* 静止靠在墙上的梯子处于静平衡状态。

对于共面力，我们可以将力平衡分解为水平和竖直分量，得到三个独立的标量方程：对任意点$P$，有 $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_P = 0$。

> **tip**
>
> 选择多个未知力共同经过的点作为支点，可以将这些未知力从力矩方程中消去，大幅简化计算。

**例题:** 一根长5m的均匀杆，重力10N，作用于重心。杆分别在$x=0$处（向上反力10N）和$x=5$m处（向上反力$R$ N）被支撑，在$x=2$m处悬挂一个重物$W$。求平衡时$W$的值。

1. 首先应用竖直方向的力平衡：
2. $$\text{Sum of upward forces} = \text{Sum of downward forces} \\ 10 + R = 10 + W \\ R = W$$
3. 对$x=0$取力矩，消去支点处10N的反作用力：
4. $$\\text{Sum } M_0 = 0 \\ -W(2) - 10(2.5) + R(5) = 0$$
5. 代入$R=W$求解$W$：
6. $$-2W -25 + 5W = 0 \\ 3W = 25 \\ W = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ N}$$

## 悬挂刚体的平衡

**悬挂刚体平衡** — 当刚体从固定支点自由悬挂并处于平衡状态时，其重心位于支点的正下方。

利用这条规则，我们可以通过连接支点和重心的直线，用三角学计算悬挂体与竖直/水平方向的夹角。

**例题:** 一块均匀矩形薄板，长边长4cm，短边长3cm，从一个顶角自由悬挂。求长边与竖直方向的夹角。

1. 均匀矩形的重心在其几何中心，相对于悬挂顶角，重心沿长边方向距离为2cm，沿短边方向距离为1.5cm。
2. 设$\theta$为长边与竖直方向的夹角。连接支点和重心的直线是竖直的，因此：
3. $$\tan\theta = \frac{\text{horizontal offset from pivot}}{\text{vertical offset from pivot}} = \frac{1.5}{2} = 0.75$$
4. 计算角度：
5. $$\theta = \arctan(0.75) \approx 36.9^\circ$$

## 倾斜梯子的平衡

倾斜梯子是本知识点最常见的考题类型之一。对于每个接触面，都要添加垂直于表面的法向反力，如果表面粗糙，还要添加平行于表面的摩擦力。

- 光滑墙没有摩擦力，只有水平法向反力
- 粗糙地面既有竖直法向反力，也有防止滑动的水平摩擦力
- 均匀梯子的重力作用于中点

**例题:** 一根长4m、质量10kg的均匀梯子靠在光滑竖直墙上，底部放在粗糙水平地面上。梯子与水平方向成60°角，求地面的摩擦力大小。

1. 标注所有力：$R$（墙的法向反力，水平向右），$N$（地面的法向反力，竖直向上），$F$（地面摩擦力，水平向左），重力$mg = 10g$（竖直向下，作用于中点）。
2. 应用力平衡：
3. $$\sum F_x = 0 \implies R - F = 0 \implies F = R \\ \sum F_y = 0 \implies N - 10g = 0 \implies N = 10g$$
4. 对梯子底部取力矩，消去$F$和$N$：
5. $$\sum M_{\text{base}} = 0 \implies R(4\sin 60^\circ) - 10g(2\cos 60^\circ) = 0$$
6. 代入$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$和$\cos 60^\circ = 0.5$：
7. $$R(2\sqrt{3}) = 10g(0.5) \\ F = R = \frac{5g}{\sqrt{3}} \approx 28.3 \text{ N}$$

> **考试提示:** 写方程前一定要先标注所有力。最常见的错误是忘记粗糙接触面的摩擦力，这会导致所有平衡计算出错。

## 多支撑梁

对于被两个或更多点支撑的梁，我们用相同的三个平衡条件求解未知反作用力。无论梁是均匀还是非均匀，方法都相同。

**例题:** 一根长6m、质量20kg的均匀梁架在两个支撑上：一个在左端，一个在距离右端1m处。求每个支撑的反作用力大小。

1. 设$R_1$为左端反力，$R_2$为第二个支撑（距离左端5m）的反力。重力$20g$作用于中点，距离左端3m。
2. 应用竖直方向力平衡：
3. $$R_1 + R_2 = 20g$$
4. 对左端取力矩，消去$R_1$：
5. $$\sum M_{\text{left}} = 0 \implies 5R_2 - 3(20g) = 0 \\ 5R_2 = 60g \\ R_2 = 12g = 117.6 \text{ N}$$
6. 回代求解$R_1$：
7. $$R_1 = 20g - 12g = 8g = 78.4 \text{ N}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 墙和地面都粗糙的梯子问题中，忘记其中一个粗糙接触面的摩擦力。
  - 原因: 遗漏任何力都会导致平衡方程不成立，得到错误结果。
  - 正确做法: 标注每个接触点：添加垂直于表面的法向反力，所有粗糙接触都要添加平行于表面的摩擦力。
- **错误做法:** 力矩计算中使用沿杆的长度，而不是垂直距离。
  - 原因: 力矩的定义是力乘以支点到力的垂直距离，不是沿物体的距离。
  - 正确做法: 始终计算距离的垂直分量，或将力分解为垂直于杆的分量来计算力矩。
- **错误做法:** 假设非均匀杆的重心在中点。
  - 原因: 考题经常用非均匀物体考察这一点，假设重心在中点会得到错误的重力力矩。
  - 正确做法: 始终检查题目是否说明物体是均匀的。如果是非均匀，题目会给出重心位置。
- **错误做法:** 有三个未知量时，只写两个平衡方程就停止求解。
  - 原因: 共面平衡有三个独立方程，因此需要三个方程才能求解三个未知量。
  - 正确做法: 尝试求解方程组前，先写出全部三个方程（$\sum F_x$, $\sum F_y$, $\sum M$）。

## 速查表

| 条件 | 结果/方程 |
| --- | --- |
| 平动平衡 | $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0$ |
| 转动平衡 | $\sum M_P = 0$ for any point $P$ |
| 悬挂体平衡 | 重心位于支点正下方 |
| 法向反作用力 | 始终垂直于接触面 |
| 摩擦力 | 始终平行于接触面，阻碍滑动 |

## 下一步

刚体平衡是所有刚体力学后续内容的核心基础。你在这里练习的力分解和力矩计算技巧，会直接用于刚体转动动力学等知识点，而后者是进阶力学试卷的重要组成部分。本知识点在CIE 9231考试中分值占比一直很高，因此掌握所有常见题型（梯子、悬挂薄板、梁）对取得高分至关重要。扎实掌握平衡知识会让更高级的动力学知识点更容易学习。

- [弹性与简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-elasticity-and-simple-harmonic-motion/)
- [进阶概率与统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-overview/)
- [离散概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-discrete-probability-distributions/)

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