弹性与简谐运动

CIE A-Level 进阶数学· 25 分钟阅读

1. 推导弹性系统的简谐运动★★☆☆☆⏱ 15 min

当连接在弹性绳或弹簧上的物体偏离平衡位置时，回复力遵循胡克定律，满足简谐运动的核心要求： $a = - ω^{2} x$ 。我们首先分析简单的水平系统，重力不影响沿振荡轴的运动。

📘 定义

回复力

$F = - k x$

作用方向与偏离平衡位置的位移方向相反，将系统拉回平衡位置的力，是简谐运动的必要条件

例:

对于劲度系数为 $k$ 的弹簧，位移为 $x$ ，回复力是 $F = - k x$

📐 例题

质量 $m$ 的物体连接在劲度系数为 $k$ 、原长为 $l_{0}$ 的水平弹簧上。证明运动为简谐运动并求 $ω$ 。

1
设位移（相对于水平系统平衡位置）为 $x$ 。
2
$F = -kx$
3
根据牛顿第二定律， $F = ma$ ，因此：
4
$ma = -kx \implies a = -\frac{k}{m}x$
5
该式符合简谐运动微分方程 $a = - ω^{2} x$ ，因此运动为简谐运动，且：
6
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Exam tip:

始终从平衡位置开始测量位移，而不是从绳或弹簧的原长开始测量。

2. 竖直弹性简谐运动★★★☆☆⏱ 20 min

对于竖直系统，重力会将绳或弹簧拉伸到新的平衡位置后才开始振荡。推导简谐运动方程时重力会抵消，最终得到简洁的角频率表达式。

📐 例题

原长 $l$ 、弹性模量 $λ$ 的轻质弹性绳一端固定，另一端连接质量 $m$ 的物体。将物体从平衡位置轻微偏离，证明运动为简谐运动并求周期。

1
首先求平衡伸长量 $e$ ：平衡位置处张力等于重力：
2
$\frac{\lambda e}{l} = mg \implies e = \frac{mgl}{\lambda}$
3
设 $x$ 为从平衡位置向下的位移，总伸长量为 $e + x$ 。
4
求向下的合力（重力减去张力）：
5
$F = mg - \frac{\lambda (e + x)}{l}$
6
代入平衡条件 $m g = \frac{λ e}{l}$ ：
7
$F = \frac{\lambda e}{l} - \frac{\lambda e}{l} - \frac{\lambda x}{l} = -\frac{\lambda}{l}x$
8
根据牛顿第二定律 $F = ma$ ，因此：
9
$a = -\frac{\lambda}{ml}x = -\omega^2 x \implies \omega = \sqrt{\frac{\lambda}{ml}}$
10
周期 $T$ 为：
11
$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{\lambda}}$

3. 弹性简谐运动中的能量★★★☆☆⏱ 15 min

弹性简谐运动系统具有三种形式的机械能：物体的动能、绳/弹簧的弹性势能，以及竖直系统的重力势能。无阻尼运动的总机械能守恒。

平衡位置处：动能最大，总势能最小
最大位移处：动能为零，总势能最大
总能量： $E_{total} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$ ，其中 $A$ 为振幅，与标准简谐运动结论一致

📐 例题

1 kg的物体在竖直弹性弹簧上做简谐运动， $ω = 2 rad s^{- 1}$ ，振幅为0.5 m。计算物体的最大动能。

1
最大动能等于系统的总能量：
2
$E_{\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$
3
代入数值 $m = 1$ , $ω = 2$ , $A = 0.5$ ：
4
$E_{\text{max}} = \frac{1}{2}(1)(2^2)(0.5^2) = 0.5 \text{ J}$

4. 弹性简谐运动的问题求解★★★★☆⏱ 20 min

大多数考试题目要求你求解弹性简谐运动的周期、振幅、最大速率或最大位移。关键第一步永远是找到平衡位置，然后推导 $ω$ ，再应用标准简谐运动结论。

✓ 快速检测

检查你对核心第一步的理解：

对于竖直弹性简谐运动问题，为了得到简谐运动的标准方程 $a = - ω^{2} x$ ，你应该从哪个点开始测量位移？
- 绳的原长
- 平衡位置
- 振荡的最低点
显示答案
1 —
正确！位移必须从平衡位置测量才能得到标准的简谐运动形式，重力会在该点附近抵消。

📐 例题

质量2 kg的物体连接在原长1 m、弹性模量40 N的弹性绳上，竖直悬挂。将物体从平衡位置向下拉0.2 m后由静止释放，求物体的最大速率。

1
计算系统的 $ω$ ：
2
$\omega = \sqrt{\frac{\lambda}{ml}} = \sqrt{\frac{40}{(2)(1)}} = 2\sqrt{5} \text{ rad s}^{-1}$
3
振幅 $A = 0.2$ m（由静止释放），最大速率 $v_{max} = A ω$ ：
4
$v_{\text{max}} = 0.2 \times 2\sqrt{5} = 0.4\sqrt{5} \approx 0.89 \text{ m s}^{-1}$

5. 常见陷阱

错误做法:

对于竖直简谐运动，从原长而不是平衡位置测量位移

原因:

这会在力方程中留下常数重力项，因此无法得到标准的简谐运动形式

正确做法:

先计算平衡伸长量，然后所有位移都从该点开始测量；重力会抵消

错误做法:

忘记弹性绳只能产生张力，不能产生压力

原因:

如果位移超过原长位置，绳会变松弛，运动不再是简谐运动

正确做法:

检查振幅是否大到使绳变松弛，必要时将运动分为简谐运动和自由落体两段分析

错误做法:

在周期公式中混淆弹性模量和劲度系数

原因:

很多学习者在计算弹性绳的 $ω$ 时代入错误数值

正确做法:

记住 $k = \frac{λ}{l}$ ，因此弹性绳的 $ω = \frac{λ}{m l}$

错误做法:

在竖直简谐运动能量计算中重复计算重力势能

原因:

转换到平衡坐标后，重力势能的变化已经被考虑在内

正确做法:

使用标准简谐运动总能量公式 $E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$ ，该公式适用于竖直系统

6. 速查表

系统	角频率 $ω$	周期 $T$
水平弹簧 ( $k$ )	$\frac{k}{m}$	$2 π \frac{m}{k}$
竖直弹性绳 ( $λ, l$ )	$\frac{λ}{m l}$	$2 π \frac{m l}{λ}$
竖直弹簧 ( $k$ )	$\frac{k}{m}$	$2 π \frac{m}{k}$
最大速率	$A ω$
总能量	$\frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 2
竖直弹性弹簧简谐运动问题
2021 · 1
水平弹性绳简谐运动
2023 · 2
弹性简谐运动能量问题

深入阅读

syllabusCIE 9231 进阶力学大纲

下一步

弹性与简谐运动是进阶力学中更高级振荡运动主题的基础，包括阻尼振荡、受迫振荡，以及受驱系统的能量分析。在CIE 9231考试中，它也常与功能原理和连接系统问题结合考查，因此掌握本小节对于取得高分至关重要。这里的概念也是大学经典力学很多内容的基础，现在打下扎实的基础会支持未来的学习。