圆周运动

CIE A-Level 进阶数学· 45 分钟阅读

1. 圆周运动基础★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

向心加速度

a_c

始终方向指向圆周圆心的加速度，是匀速圆周运动中改变速度方向所需的加速度。

例:

一个以 $2 ms^{- 1}$ 运动、在半径为 $2 m$ 的圆周上运动的质点，其 $a_{c} = \frac{2 ^{2}}{2} = 2 ms^{- 2}$ 。

在匀速圆周运动中，速率恒定但速度方向不断改变，因此加速度不为零。根据牛顿第二定律，需要一个方向指向圆心的合力来产生这个加速度。

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

F_{\text{net (radial)}} = m a_c = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r

📐 例题

一个3 kg的质点在半径0.5 m的水平圆周上以每秒4转的速率运动。计算质点受到的合向心力。

1
首先计算角速度 $ω$ 。每秒4转 = $4 \times 2 π = 8 π rad s^{- 1}$ 。
2
代入向心力公式：
3
$F = m \omega^2 r = 3 \times (8\pi)^2 \times 0.5$
4
计算最终结果：
5
$F = 96 \pi^2 \approx 947 \text{ N}$

2. 水平面圆周运动★★★☆☆⏱ 20 min

水平面圆周运动指圆周轨迹位于水平面内的运动。考试中最常见的问题是圆锥摆，即细绳连接的质点在水平面做圆周运动，细绳扫出一个圆锥形状。

📘 定义

圆锥摆

质点通过轻质不可伸长细绳连接到固定点，在水平面做圆周运动，细绳与竖直方向保持恒定夹角。

📐 例题

一个圆锥摆的绳长为1.5 m，摆球质量4 kg，运动时细绳与竖直方向夹角为 $4 5^{\circ}$ 。求摆球的角速度。

1
竖直方向受力分解（竖直方向无加速度）： $T cos 4 5^{\circ} = m g$
2
水平方向受力分解（指向圆心的合力等于向心力）： $T sin 4 5^{\circ} = m ω^{2} r$
3
求圆周半径： $r = l sin 4 5^{\circ} = 1.5 sin 4 5^{\circ}$
4
将水平方向方程除以竖直方向方程，消去 $T$ 和 $m$ ：
5
$\tan 45^\circ = \frac{\omega^2 (l \sin 45^\circ)}{g}$
6
由于 $tan 4 5^{\circ} = 1$ ，整理得 $ω^{2}$ ：
7
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos 45^\circ} = \frac{9.8}{1.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 9.25$
8
开平方得： $ω \approx 3.04 rad s^{- 1}$

3. 竖直圆周运动：绳连接★★★★☆⏱ 25 min

在竖直圆周运动中，质点运动时重力会做功，因此速率不恒定。我们使用能量守恒求出任意位置的速率，再计算张力或反作用力。

📘 定义

绳连接的临界速度

对于不可伸长绳连接的质点，若张力变为负，绳就会松弛。完成完整圆周运动时最高点的最小速度对应张力为零的情况，满足 $v^{2} = g r$ 。

📐 例题

一个2 kg的质点连接在长度1.2 m的轻质不可伸长绳上，从最低点以速率 $u$ 抛出。求质点能完成完整竖直圆周运动的最小 $u$ 。

1
设 $v$ 为最高点的速率。对于最小 $u$ ，最高点张力 $T = 0$ ，因此重力提供全部向心力：
2
$mg = \frac{m v^2}{r} \implies v^2 = gr = 9.8 \times 1.2 = 11.76$
3
使用能量守恒：最低点动能 = 最高点动能 + 增加的重力势能。上升高度 = $2 r = 2.4$ m：
4
$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mg(2r)$
5
所有项消去 $m$ ，代入数值：
6
$u^2 = v^2 + 4gr = 11.76 + 4(9.8)(1.2) = 58.8$
7
开平方得： $u = 58.8 \approx 7.67 ms^{- 1}$

4. 竖直圆周运动：杆连接★★★★☆⏱ 25 min

对于刚性杆连接的质点，或在固定圆形轨道内侧运动的质点，杆既可以提供拉力（指向圆心）也可以提供推力（背离圆心）。这改变了完成完整圆周运动的最小速度条件。

📘 定义

杆连接的最小速度

刚性杆即使在质点速度为零时也能支撑质点重量，因此最高点的最小速度为0，而非 $g r$ 。

📐 例题

一个1 kg的质点连接在长度0.8 m的轻质刚性杆一端，杆另一端铰接。质点从最低点以速率 $6 ms^{- 1}$ 抛出，求最高点处杆对质点的作用力。

1
使用能量守恒求最高点的 $v^{2}$ ，上升高度 = $2 r = 1.6$ m：
2
$\frac{1}{2} (1)(6)^2 = \frac{1}{2} (1) v^2 + (1)(9.8)(1.6)$
3
整理得 $v^{2}$ ：
4
$18 = 0.5 v^2 + 15.68 \implies v^2 = 4.64$
5
设 $R$ 为杆指向圆心方向的作用力。指向圆心的合力： $m g + R = \frac{m v ^{2}}{r}$ ：
6
$R = \frac{(1)(4.64)}{0.8} - (1)(9.8) = 5.8 - 9.8 = -4 \text{ N}$
7
负号表示 $R$ 方向背离圆心：杆对质点施加了大小为4 N、向上的压力。

5. 常见陷阱

错误做法:

将向心力作为额外的力，附加在张力、重力和反作用力之外一起计算。

原因:

向心力不是独立的力，它是所有指向圆心的力的合力。

正确做法:

计算所有沿径向指向圆心的力的总和，再将其等于 $\frac{m v ^{2}}{r}$ 。

错误做法:

将竖直圆周运动最低点和最高点的高度差用 $r$ 计算。

原因:

最高点比最低点高出2倍半径，不是1倍 $r$ 。

正确做法:

竖直圆周运动能量计算中，最低点到最高点的高度差始终使用 $2 r$ 。

错误做法:

对刚性杆连接的质点使用临界速度条件 $v \geq g r$ 。

原因:

学生记住了绳的条件，错误套用到杆上，杆可以在最高点速度为零时支撑质点重量。

正确做法:

绳连接：最高点 $v \geq g r$ ；刚性杆连接：最高点 $v \geq 0$ 。

错误做法:

将圆锥摆的半径计算为 $l cos θ$ ，而非 $l sin θ$ 。

原因:

混淆了细绳、竖直轴和半径构成的直角三角形的边长。

正确做法:

画清晰的示意图：若 $θ$ 是细绳与竖直方向的夹角，则 $r = l sin θ$ 。

错误做法:

计算向心力时沿切向分解力，而非径向。

原因:

匀速圆周运动的加速度只有径向分量，因此必须沿径向计算合力。

正确做法:

计算向心力时，始终沿径向（指向圆心方向）分解力。

6. 速查表

概念	公式/规则	要点
向心加速度	$a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} = ω^{2} r$	始终指向圆心
向心力	$F_{n e t} = \frac{m v ^{2}}{r}$	是合力，不是额外的力
圆锥摆	$ω^{2} = \frac{g}{l c o s θ}$	半径 $r = l sin θ$
绳竖直圆周运动	$v_{t o p} \geq g r$	最小抛出速率： $u = 5 g r$
杆竖直圆周运动	$v_{t o p} \geq 0$	最小抛出速率： $u = 4 g r$
竖直圆周运动	$Δ K E = - Δ P E$	始终使用能量守恒

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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圆周运动是进阶力学的核心主题，是转动运动、轨道力学和简谐运动等更高级概念的基础。你在这里学到的技能，包括径向力分解、结合牛顿定律与能量守恒、针对不同约束（绳与杆）调整条件，是解决CIE A-Level考试中常见的复杂多主题动力学问题的基础。圆周运动经常在考试中与功、能量、碰撞和连接质点结合考查，因此掌握这些基础会让你更容易解决进阶力学其他部分的更难问题。