# 圆周运动

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶力学 第3单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-circular-motion/

本子主题涵盖将牛顿定律和能量守恒应用于圆周路径运动的方法。你将学习求解水平运动（圆锥摆）和竖直运动（绳与杆）的问题，包括确定完成完整圆周运动的最小速度条件。

**先修:** 牛顿运动定律; 二维力的分解; 机械能守恒

## 学习目标

- 将牛顿第二定律应用于匀速圆周运动
- 求解水平面圆周运动相关问题（圆锥摆、倾斜轨道）
- 使用能量守恒求解竖直圆周运动问题
- 区分绳/杆连接的运动，求解不同位置的反作用力
- 确定完成完整竖直圆周运动的最小速度条件

## 圆周运动基础

**向心加速度** — 始终方向指向圆周圆心的加速度，是匀速圆周运动中改变速度方向所需的加速度。

*记法:* a_c

*例:* 一个以$2 \text{ ms}^{-1}$运动、在半径为$2 \text{ m}$的圆周上运动的质点，其$a_c = \frac{2^2}{2} = 2 \text{ ms}^{-2}$。

在匀速圆周运动中，速率恒定但速度方向不断改变，因此加速度不为零。根据牛顿第二定律，需要一个方向指向圆心的合力来产生这个加速度。

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

$$F_{\text{net (radial)}} = m a_c = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r$$

> **warning**
>
> 向心力**并不是**额外附加在张力、重力或反作用力之外的力，它是所有指向圆心方向的力的合力。

**例题:** 一个3 kg的质点在半径0.5 m的水平圆周上以每秒4转的速率运动。计算质点受到的合向心力。

1. 首先计算角速度$\omega$。每秒4转 = $4 \times 2\pi = 8\pi \text{ rad s}^{-1}$。
2. 代入向心力公式：
3. $$F = m \omega^2 r = 3 \times (8\pi)^2 \times 0.5$$
4. 计算最终结果：
5. $$F = 96 \pi^2 \approx 947 \text{ N}$$

## 水平面圆周运动

水平面圆周运动指圆周轨迹位于水平面内的运动。考试中最常见的问题是圆锥摆，即细绳连接的质点在水平面做圆周运动，细绳扫出一个圆锥形状。

**圆锥摆** — 质点通过轻质不可伸长细绳连接到固定点，在水平面做圆周运动，细绳与竖直方向保持恒定夹角。

**例题:** 一个圆锥摆的绳长为1.5 m，摆球质量4 kg，运动时细绳与竖直方向夹角为$45^\circ$。求摆球的角速度。

1. 竖直方向受力分解（竖直方向无加速度）：$T \cos 45^\circ = mg$
2. 水平方向受力分解（指向圆心的合力等于向心力）：$T \sin 45^\circ = m \omega^2 r$
3. 求圆周半径：$r = l \sin 45^\circ = 1.5 \sin 45^\circ$
4. 将水平方向方程除以竖直方向方程，消去$T$和$m$：
5. $$\tan 45^\circ = \frac{\omega^2 (l \sin 45^\circ)}{g}$$
6. 由于$\tan 45^\circ = 1$，整理得$\omega^2$：
7. $$\omega^2 = \frac{g}{l \cos 45^\circ} = \frac{9.8}{1.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 9.25$$
8. 开平方得：$\omega \approx 3.04 \text{ rad s}^{-1}$

> **Exam tip**
>
> 一定要画清晰的示意图，避免混淆圆锥摆半径公式中的$l \sin\theta$和$l \cos\theta$。

## 竖直圆周运动：绳连接

在竖直圆周运动中，质点运动时重力会做功，因此速率不恒定。我们使用能量守恒求出任意位置的速率，再计算张力或反作用力。

**绳连接的临界速度** — 对于不可伸长绳连接的质点，若张力变为负，绳就会松弛。完成完整圆周运动时最高点的最小速度对应张力为零的情况，满足$v^2 = gr$。

**例题:** 一个2 kg的质点连接在长度1.2 m的轻质不可伸长绳上，从最低点以速率$u$抛出。求质点能完成完整竖直圆周运动的最小$u$。

1. 设$v$为最高点的速率。对于最小$u$，最高点张力$T = 0$，因此重力提供全部向心力：
2. $$mg = \frac{m v^2}{r} \implies v^2 = gr = 9.8 \times 1.2 = 11.76$$
3. 使用能量守恒：最低点动能 = 最高点动能 + 增加的重力势能。上升高度 = $2r = 2.4$ m：
4. $$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mg(2r)$$
5. 所有项消去$m$，代入数值：
6. $$u^2 = v^2 + 4gr = 11.76 + 4(9.8)(1.2) = 58.8$$
7. 开平方得：$u = \sqrt{58.8} \approx 7.67 \text{ ms}^{-1}$

## 竖直圆周运动：杆连接

对于刚性杆连接的质点，或在固定圆形轨道内侧运动的质点，杆既可以提供拉力（指向圆心）也可以提供推力（背离圆心）。这改变了完成完整圆周运动的最小速度条件。

**杆连接的最小速度** — 刚性杆即使在质点速度为零时也能支撑质点重量，因此最高点的最小速度为0，而非$\sqrt{gr}$。

**例题:** 一个1 kg的质点连接在长度0.8 m的轻质刚性杆一端，杆另一端铰接。质点从最低点以速率$6 \text{ ms}^{-1}$抛出，求最高点处杆对质点的作用力。

1. 使用能量守恒求最高点的$v^2$，上升高度 = $2r = 1.6$ m：
2. $$\frac{1}{2} (1)(6)^2 = \frac{1}{2} (1) v^2 + (1)(9.8)(1.6)$$
3. 整理得$v^2$：
4. $$18 = 0.5 v^2 + 15.68 \implies v^2 = 4.64$$
5. 设$R$为杆指向圆心方向的作用力。指向圆心的合力：$mg + R = \frac{m v^2}{r}$：
6. $$R = \frac{(1)(4.64)}{0.8} - (1)(9.8) = 5.8 - 9.8 = -4 \text{ N}$$
7. 负号表示$R$方向背离圆心：杆对质点施加了大小为4 N、向上的压力。

> **Exam tip**
>
> 一定要检查反作用力的符号。负值表示力的方向与你假设的指向圆心方向相反，对于杆来说这说明是压力。

## 常见错误

- **错误做法:** 将向心力作为额外的力，附加在张力、重力和反作用力之外一起计算。
  - 原因: 向心力不是独立的力，它是所有指向圆心的力的合力。
  - 正确做法: 计算所有沿径向指向圆心的力的总和，再将其等于$\frac{mv^2}{r}$。
- **错误做法:** 将竖直圆周运动最低点和最高点的高度差用$r$计算。
  - 原因: 最高点比最低点高出2倍半径，不是1倍$r$。
  - 正确做法: 竖直圆周运动能量计算中，最低点到最高点的高度差始终使用$2r$。
- **错误做法:** 对刚性杆连接的质点使用临界速度条件$v \geq \sqrt{gr}$。
  - 原因: 学生记住了绳的条件，错误套用到杆上，杆可以在最高点速度为零时支撑质点重量。
  - 正确做法: 绳连接：最高点$v \geq \sqrt{gr}$；刚性杆连接：最高点$v \geq 0$。
- **错误做法:** 将圆锥摆的半径计算为$l \cos\theta$，而非$l \sin\theta$。
  - 原因: 混淆了细绳、竖直轴和半径构成的直角三角形的边长。
  - 正确做法: 画清晰的示意图：若$\theta$是细绳与竖直方向的夹角，则$r = l \sin\theta$。
- **错误做法:** 计算向心力时沿切向分解力，而非径向。
  - 原因: 匀速圆周运动的加速度只有径向分量，因此必须沿径向计算合力。
  - 正确做法: 计算向心力时，始终沿径向（指向圆心方向）分解力。

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 向心加速度 | $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$ | 始终指向圆心 |
| 向心力 | $F_{net} = \frac{mv^2}{r}$ | 是合力，不是额外的力 |
| 圆锥摆 | $\omega^2 = \frac{g}{l \cos\theta}$ | 半径 $r = l \sin\theta$ |
| 绳竖直圆周运动 | $v_{top} \geq \sqrt{gr}$ | 最小抛出速率：$u = \sqrt{5gr}$ |
| 杆竖直圆周运动 | $v_{top} \geq 0$ | 最小抛出速率：$u = \sqrt{4gr}$ |
| 竖直圆周运动 | $\Delta KE = -\Delta PE$ | 始终使用能量守恒 |

## 下一步

圆周运动是进阶力学的核心主题，是转动运动、轨道力学和简谐运动等更高级概念的基础。你在这里学到的技能，包括径向力分解、结合牛顿定律与能量守恒、针对不同约束（绳与杆）调整条件，是解决CIE A-Level考试中常见的复杂多主题动力学问题的基础。圆周运动经常在考试中与功、能量、碰撞和连接质点结合考查，因此掌握这些基础会让你更容易解决进阶力学其他部分的更难问题。

- [刚体平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-equilibrium-of-rigid-bodies/)
- [弹性与简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-elasticity-and-simple-harmonic-motion/)
- [进阶概率与统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u4-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-circular-motion/