矩阵：特征值、特征向量与对角化

CIE A-Level 进阶数学· 9231 U2 进阶纯数2，第7.1-7.4节· 45 分钟阅读

1. 推导特征方程★★★☆☆⏱ 10 min

特征方程是所有特征值相关计算的核心起点。对任意n×n矩阵M，我们将特征向量定义式 $M v = λ v$ 移项得到 $(M - λ I) v = 0$ ，其中I是n×n单位矩阵。

\det(M - \lambda I) = 0

📘 定义

特征多项式

\det(M - \lambda I)

将M减去λ倍单位矩阵的行列式展开后得到的λ的n次多项式。

📐 例题

求3×3矩阵 $M = 210120003$ 的特征方程

1
首先将M减去λ倍单位矩阵：
2
$M - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$
3
沿第三行展开行列式以简化计算：
4
$\det(M-\lambda I) = (3-\lambda) \times \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}$
5
化简2×2行列式并整理项：
6
$\det(M-\lambda I) = (3-\lambda)\left((2-\lambda)^2 -1\right) = (3-\lambda)(\lambda^2 -4\lambda +3) = -\lambda^3 +7\lambda^2 -15\lambda +9$
7
得到最终特征方程（两边同乘-1得到首项系数为正的标准形式）：
8
$\lambda^3 -7\lambda^2 +15\lambda -9 = 0$

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4×4矩阵的特征多项式次数是多少？
显示答案
4 —
特征多项式的次数始终等于方阵的阶数。

Exam tip:

始终沿包含零元素的行或列展开行列式，以减少算术错误，对3×3矩阵尤其适用。

2. 计算特征值与特征向量★★★★☆⏱ 12 min

得到特征方程后，对其因式分解求出所有根，即为特征值。对每个特征值λ，代回 $(M - λ I) v = 0$ 并求解齐次方程组，即可得到对应的非零特征向量。

📐 例题

求上一例题中矩阵 $M = 210120003$ 的所有特征值和对应的特征向量

1
对之前推导得到的特征方程做因式分解：
2
$\lambda^3 -7\lambda^2 +15\lambda -9 = (\lambda-3)^2(\lambda-1) = 0$
3
特征值为λ=1和λ=3（二重根）
4
对λ=1，代入 $(M - I) v = 0$ ：
5
$M-I = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \implies v_1 + v_2 = 0, v_3=0 \implies \mathbf{v} = k\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}, k\neq 0$
6
对λ=3，代入 $(M - 3 I) v = 0$ ：
7
$M-3I = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \implies -v_1 + v_2 = 0 \implies \mathbf{v} = k\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, k,m \neq 0$

3. 可对角化性与PDP⁻¹分解★★★★☆⏱ 10 min

n×n矩阵可对角化的充要条件是它拥有n个线性无关的特征向量。如果该条件成立，你可以将矩阵写为 $M = P D P^{- 1}$ ，其中P是特征向量构成的模态矩阵，D是对应特征值构成的对角矩阵。

📐 例题

为之前的3×3矩阵M构造PDP⁻¹分解

1
我们拥有3个线性无关的特征向量，因此M可对角化。将特征向量作为P的列，与D中特征值的顺序一一对应：
2
$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
3
使用标准3×3逆矩阵计算方法求P的逆：
4
$P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
5
通过相乘PDP⁻¹验证分解结果，确认可以还原得到原矩阵M。

4. 利用对角化计算矩阵高次幂★★★☆☆⏱ 8 min

对角化的一个核心应用是计算非常大的n对应的 $M^{n}$ ，直接反复做矩阵乘法几乎不可能完成。恒等式 $M^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ 成立，而 $D^{n}$ 的计算非常简单，只需要将D的每个对角元取n次幂即可。

📐 例题

计算示例3×3矩阵M的 $M^{4}$

1
将D的每个对角元取4次幂：
2
$D^4 = \begin{pmatrix} 1^4 & 0 & 0 \\ 0 & 3^4 & 0 \\ 0 & 0 & 3^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix}$
3
按顺序依次相乘P、D⁴和P⁻¹：
4
$M^4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}41 & 40 & 0 \\ 40 & 41 & 0 \\ 0 & 0 & 81\end{pmatrix}$

5. 常见陷阱

错误做法:

不必要地将特征向量归一化为单位长度

原因:

浪费时间且引入算术错误导致失分，CIE考试不要求特征向量为单位向量

正确做法:

将特征向量保留为最简整数分量形式，不含分数或根式

错误做法:

混淆P中特征向量和D中特征值的顺序

原因:

P的列必须与D对角线上的特征值顺序完全对应，否则分解结果完全无效

正确做法:

构造P和D之前为每个特征向量标注对应的特征值，确认顺序匹配

错误做法:

将零向量作为特征向量

原因:

零向量被特征向量的定义明确排除，且无法满足非平凡解的要求

正确做法:

写出通式特征向量解时，必须明确说明标量倍数常数k不为零

错误做法:

假设所有存在重特征值的矩阵都不可对角化

原因:

重特征值仍然可以拥有足够多的线性无关特征向量，使矩阵可对角化

正确做法:

统计线性无关特征向量的总数后，再判定矩阵不可对角化

错误做法:

计算Mⁿ时忘记最后乘以P⁻¹

原因:

这是CIE对角化题目中最常见的失分错误，会丢掉2-3分

正确做法:

在作答区域顶部写出完整公式 $M^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ ，提醒自己包含全部三项

6. 速查表

步骤	2×2矩阵	3×3矩阵	CIE评分标准核查点
特征方程	展开2×2行列式，求解二次方程	沿含零的行/列展开，求解三次方程	确认特征值之和等于M的迹
特征向量	求解1个线性方程得到非零解	对每个λ求解对应的齐次方程组	不能出现零向量，任意非零倍数均可接受
对角化	需要2个线性无关特征向量	需要3个线性无关特征向量	P和D的顺序必须完全匹配
Mⁿ计算	将D的对角元取n次幂，相乘PDⁿP⁻¹	将D的对角元取n次幂，相乘PDⁿP⁻¹	用小的n值（例如n=2）验证结果，排查错误

7. 常见问题

特征向量可以存在分量为0吗？

可以，单个分量可以为0，但特征向量本身不能是零向量，因为零向量无法满足定义Mv=λv对任意λ成立。

矩阵可对角化是否要求所有特征值互异？

不需要，即使存在重特征值，只要有足够多的线性无关特征向量可以张成全空间，矩阵仍然可以对角化。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · Paper 1
3×3矩阵对角化与矩阵幂运算
2023 · Paper 2
重特征值与可对角化性检验
2022 · Paper 1
特征方程推导与特征向量求解

深入阅读

official_syllabusCIE 9231 2025-2027年教学大纲第7节参考内容

下一步

掌握特征值、特征向量和对角化是进阶纯数2矩阵单元后续内容的基础。接下来你会将这些概念拓展到对称矩阵，对称矩阵的独有性质是其特征向量两两正交，可以构造正交对角化，这是近年CIE考试中占15-20分的高频题型。你还将学习凯莱-哈密顿定理，无需完整对角化即可计算矩阵幂和逆矩阵，并探索矩阵变换在二次曲线上的应用。这些内容都直接建立在你当前练习的技能之上，因此在继续学习之前，请确保你可以无算术错误地完成全部3×3矩阵对角化步骤。