# 矩阵：特征值、特征向量与对角化

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-matrices-eigenvalues-eigenvectors-and-diagonalisation/

本小节覆盖CIE 9231进阶纯数2要求范围内的特征方程、特征值/特征向量计算、可对角化规则，以及2×2和3×3矩阵的矩阵幂运算。

**先修:** [基础矩阵运算、行列式与逆矩阵计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-matrices-basics/); [求解齐次线性方程组](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-linear-systems/)

## 学习目标

- 推导并求解2×2和3×3方阵的特征方程
- 计算互异和重特征值以及对应的非零特征向量
- 验证矩阵的可对角化性并构造PDP⁻¹分解
- 应用对角化高效计算矩阵的高次正整数幂

## 推导特征方程

特征方程是所有特征值相关计算的核心起点。对任意n×n矩阵M，我们将特征向量定义式$M\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$移项得到$(M - \lambda I)\mathbf{v} = 0$，其中I是n×n单位矩阵。

$$\det(M - \lambda I) = 0$$

**特征多项式** — 将M减去λ倍单位矩阵的行列式展开后得到的λ的n次多项式。

*记法:* \det(M - \lambda I)

**例题:** 求3×3矩阵$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$的特征方程

1. 首先将M减去λ倍单位矩阵：
2. $$M - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$$
3. 沿第三行展开行列式以简化计算：
4. $$\det(M-\lambda I) = (3-\lambda) \times \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}$$
5. 化简2×2行列式并整理项：
6. $$\det(M-\lambda I) = (3-\lambda)\left((2-\lambda)^2 -1\right) = (3-\lambda)(\lambda^2 -4\lambda +3) = -\lambda^3 +7\lambda^2 -15\lambda +9$$
7. 得到最终特征方程（两边同乘-1得到首项系数为正的标准形式）：
8. $$\lambda^3 -7\lambda^2 +15\lambda -9 = 0$$

> **tip**
>
> CIE评分标准会为正确的行列式展开步骤给分，即使后续出现算术错误，因此请清晰写出展开的每一步。

**概念自测**

1. 4×4矩阵的特征多项式次数是多少？

   *解析:* 特征多项式的次数始终等于方阵的阶数。

> **考试提示:** 始终沿包含零元素的行或列展开行列式，以减少算术错误，对3×3矩阵尤其适用。

## 计算特征值与特征向量

得到特征方程后，对其因式分解求出所有根，即为特征值。对每个特征值λ，代回$(M - \lambda I)\mathbf{v} = 0$并求解齐次方程组，即可得到对应的非零特征向量。

**例题:** 求上一例题中矩阵$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$的所有特征值和对应的特征向量

1. 对之前推导得到的特征方程做因式分解：
2. $$\lambda^3 -7\lambda^2 +15\lambda -9 = (\lambda-3)^2(\lambda-1) = 0$$
3. 特征值为λ=1和λ=3（二重根）
4. 对λ=1，代入$(M - I)\mathbf{v} = 0$：
5. $$M-I = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \implies v_1 + v_2 = 0, v_3=0 \implies \mathbf{v} = k\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}, k\neq 0$$
6. 对λ=3，代入$(M - 3I)\mathbf{v} = 0$：
7. $$M-3I = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \implies -v_1 + v_2 = 0 \implies \mathbf{v} = k\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, k,m \neq 0$$

**考试命令词**

CIE在该部分使用特定的指令术语：

- **Find the eigenvector** — 解的任意非零标量倍数都可接受 *(你不需要将向量归一化为单位长度)*

- **Find a set of linearly independent eigenvectors** — 你需要提供与矩阵阶数相等数量的互异向量

## 可对角化性与PDP⁻¹分解

n×n矩阵可对角化的充要条件是它拥有n个线性无关的特征向量。如果该条件成立，你可以将矩阵写为$M = PDP^{-1}$，其中P是特征向量构成的模态矩阵，D是对应特征值构成的对角矩阵。

**例题:** 为之前的3×3矩阵M构造PDP⁻¹分解

1. 我们拥有3个线性无关的特征向量，因此M可对角化。将特征向量作为P的列，与D中特征值的顺序一一对应：
2. $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
3. 使用标准3×3逆矩阵计算方法求P的逆：
4. $$P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
5. 通过相乘PDP⁻¹验证分解结果，确认可以还原得到原矩阵M。

## 利用对角化计算矩阵高次幂

对角化的一个核心应用是计算非常大的n对应的$M^n$，直接反复做矩阵乘法几乎不可能完成。恒等式$M^n = PD^nP^{-1}$成立，而$D^n$的计算非常简单，只需要将D的每个对角元取n次幂即可。

**例题:** 计算示例3×3矩阵M的$M^4$

1. 将D的每个对角元取4次幂：
2. $$D^4 = \begin{pmatrix} 1^4 & 0 & 0 \\ 0 & 3^4 & 0 \\ 0 & 0 & 3^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix}$$
3. 按顺序依次相乘P、D⁴和P⁻¹：
4. $$M^4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}41 & 40 & 0 \\ 40 & 41 & 0 \\ 0 & 0 & 81\end{pmatrix}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 不必要地将特征向量归一化为单位长度
  - 原因: 浪费时间且引入算术错误导致失分，CIE考试不要求特征向量为单位向量
  - 正确做法: 将特征向量保留为最简整数分量形式，不含分数或根式
- **错误做法:** 混淆P中特征向量和D中特征值的顺序
  - 原因: P的列必须与D对角线上的特征值顺序完全对应，否则分解结果完全无效
  - 正确做法: 构造P和D之前为每个特征向量标注对应的特征值，确认顺序匹配
- **错误做法:** 将零向量作为特征向量
  - 原因: 零向量被特征向量的定义明确排除，且无法满足非平凡解的要求
  - 正确做法: 写出通式特征向量解时，必须明确说明标量倍数常数k不为零
- **错误做法:** 假设所有存在重特征值的矩阵都不可对角化
  - 原因: 重特征值仍然可以拥有足够多的线性无关特征向量，使矩阵可对角化
  - 正确做法: 统计线性无关特征向量的总数后，再判定矩阵不可对角化
- **错误做法:** 计算Mⁿ时忘记最后乘以P⁻¹
  - 原因: 这是CIE对角化题目中最常见的失分错误，会丢掉2-3分
  - 正确做法: 在作答区域顶部写出完整公式$M^n = PD^nP^{-1}$，提醒自己包含全部三项

## 速查表

| 步骤 | 2×2矩阵 | 3×3矩阵 | CIE评分标准核查点 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. 特征方程 | 展开2×2行列式，求解二次方程 | 沿含零的行/列展开，求解三次方程 | 确认特征值之和等于M的迹 |
| 2. 特征向量 | 求解1个线性方程得到非零解 | 对每个λ求解对应的齐次方程组 | 不能出现零向量，任意非零倍数均可接受 |
| 3. 对角化 | 需要2个线性无关特征向量 | 需要3个线性无关特征向量 | P和D的顺序必须完全匹配 |
| 4. Mⁿ计算 | 将D的对角元取n次幂，相乘PDⁿP⁻¹ | 将D的对角元取n次幂，相乘PDⁿP⁻¹ | 用小的n值（例如n=2）验证结果，排查错误 |

## 下一步

掌握特征值、特征向量和对角化是进阶纯数2矩阵单元后续内容的基础。接下来你会将这些概念拓展到对称矩阵，对称矩阵的独有性质是其特征向量两两正交，可以构造正交对角化，这是近年CIE考试中占15-20分的高频题型。你还将学习凯莱-哈密顿定理，无需完整对角化即可计算矩阵幂和逆矩阵，并探索矩阵变换在二次曲线上的应用。这些内容都直接建立在你当前练习的技能之上，因此在继续学习之前，请确保你可以无算术错误地完成全部3×3矩阵对角化步骤。

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-matrices-eigenvalues-eigenvectors-and-diagonalisation/