双曲函数

CIE A-Level 进阶数学· 5 分钟阅读

1. 双曲函数的定义与图像★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

核心双曲函数

$sinh x$ , $cosh x$ , $tanh x$ , $coth x$ , $sech x$ , $csch x$

所有双曲函数均由指数函数定义： $sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ , $cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ , $tanh x = \frac{s i n h x}{c o s h x}$ , $coth x = \frac{1}{t a n h x}$ , $sech x = \frac{1}{c o s h x}$ , $csch x = \frac{1}{s i n h x}$

例:

$sinh 0 = 0$ , $cosh 0 = 1$ , $tanh 0 = 0$

双曲函数与三角函数有许多相似之处，但奇偶性和值域性质不同：

$cosh x$ is even ( $cosh (- x) = cosh x$ ), range $[1, \infty)$
$sinh x$ is odd ( $sinh (- x) = - sinh x$ ), range $(- \infty, \infty)$
$tanh x$ is odd, range $(- 1, 1)$

📐 例题

求 $cosh (ln 3)$ 的精确值

1
从 $cosh x$ 的定义出发：
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
2
代入 $x = ln 3$ ，利用性质 $e^{k l n a} = a^{k}$ ：
$e^{\ln 3} = 3, \quad e^{-\ln 3} = \frac{1}{3}$
3
计算并化简：
$\cosh(\ln 3) = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

2. 双曲恒等式★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

基本勾股双曲恒等式

所有双曲函数的核心恒等式为： $cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$

$sinh (A + B) = sinh A cosh B + cosh A sinh B$
$cosh (A + B) = cosh A cosh B + sinh A sinh B$
$cosh 2 x = cosh^{2} x + sinh^{2} x = 2 cosh^{2} x - 1 = 2 sinh^{2} x + 1$
$sinh 2 x = 2 sinh x cosh x$

📐 例题

利用指数定义证明 $cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$

1
将 $cosh x$ 和 $sinh x$ 的定义代入左侧：
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2$
2
展开两个平方项：
$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$
3
化简分子：
$= \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4
结果与右侧相等，证明完成。

3. 反双曲函数★★★☆☆⏱ 20 min

通过限制定义域使核心双曲函数成为一一对应函数，我们可以定义反双曲函数，并且它们可以精确地用自然对数表示。

📘 定义

反双曲函数的对数形式

$arsinh x$ , $arcosh x$ , $artanh x$

$arsinh x = ln (x + x^{2} + 1)$ for all $x \in R$ ; $arcosh x = ln (x + x^{2} - 1)$ for $x \geq 1$ ; $artanh x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ for $∣ x ∣ < 1$

📐 例题

将 $arsinh 3$ 表示为精确自然对数形式

1
使用 $arsinh x$ 的标准对数形式：
$\text{arsinh}\,x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$
2
代入 $x = 3$ ：
$x^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
3
最终结果：
$\text{arsinh}\,3 = \ln\left(3 + \sqrt{10}\right)$

✓ 快速检测

测试你对定义域限制的理解

$arcosh x$ 的定义域是什么？
- 全体实数
- $x \geq 1$
- $∣ x ∣ < 1$
- $x > 0$
显示答案
1 —
正确： $cosh x$ 的值域为 $[1, \infty)$ ，因此反函数 $arcosh x$ 的定义域为 $[1, \infty)$

4. 双曲函数的微积分★★★☆☆⏱ 25 min

🚫 计算器禁用

对双曲函数和反双曲函数求导积分会得到标准结果，这些结果经常用于处理含根号下二次式的积分问题。

函数	导数
$sinh x$	$cosh x$
$cosh x$	$sinh x$
$tanh x$	$sech^{2} x$
$arsinh x$	$\frac{1}{x ^{2} + 1}$
$arcosh x$	$\frac{1}{x ^{2} - 1}$
$artanh x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$

📐 例题

求 $x > \frac{4}{3}$ 时 $\int \frac{1}{9 x ^{2} - 16} d x$

1
提出常数，使其符合反双曲函数的标准积分形式：
$\int \frac{1}{\sqrt{9x^2 - 16}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{(3x)^2 - 4^2}} d(3x)$
2
使用标准结果 $\int \frac{1}{u ^{2} - a ^{2}} d u = arcosh (\frac{u}{a}) + C$ ：
$= \frac{1}{3} \text{arcosh}\left(\frac{3x}{4}\right) + C$
3
如果需要，也可以改写为对数形式：
$= \frac{1}{3} \ln\left(3x + \sqrt{9x^2 - 16}\right) + C'$

5. 常见陷阱

错误做法:

使用奥斯本法则时双曲恒等式的符号错误

原因:

学生经常忘记对包含两个正弦乘积的项改变符号

正确做法:

系统地应用奥斯本法则：所有包含两个双曲正弦乘积的项都要改变符号

错误做法:

在 $x < 1$ 时使用 $arcosh x$

原因:

该函数在 $x < 1$ 时无定义，因此任何该定义域下的结果都是无效的

正确做法:

使用 $arcosh x$ 前，始终检查其自变量不小于1

错误做法:

将 $tanh x$ 的导数写为 $- sech^{2} x$

原因:

混淆了 $tan x$ 的导数，导致错误的负号

正确做法:

记住 $\frac{d}{d x} tanh x = sech^{2} x$ ，该导数没有负号

错误做法:

积分中进行线性换元时遗漏常数因子

原因:

换元 $u = k x$ 时， $d u = k d x$ 因此 $d x = \frac{d u}{k}$ ，这个因子经常被遗漏

正确做法:

换元后始终根据换元的导数调整积分，以在最终结果中得到正确的常数因子

6. 速查表

函数	定义	导数	反函数对数形式
$sinh x$	$\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$	$cosh x$	$ln (x + x^{2} + 1)$
$cosh x$	$\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$	$sinh x$	$ln (x + x^{2} - 1), x \geq 1$
$tanh x$	$\frac{s i n h x}{c o s h x}$	$sech^{2} x$	$\frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}), ∣ x ∣ < 1$
核心恒等式			$cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$
$\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x$			$arsinh (\frac{x}{a}) + C$
$\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x$			$arcosh (\frac{x}{a}) + C$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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双曲函数是进阶纯数2的基础内容，经常出现在积分问题、弧长计算、坐标几何和微分方程求解中。掌握双曲函数的恒等式和微积分结果可以简化降阶公式、反常积分等更高级内容。许多使用反三角函数的积分结果也可以用反双曲函数表示，因此本主题可帮助你串联微积分的不同领域，为考试中的综合题做好准备。