双曲函数 — CIE A-Level 进阶数学
1. 双曲函数的定义与图像 ★★☆☆☆ ⏱ 15 min
双曲函数与三角函数有许多相似之处，但奇偶性和值域性质不同：
- $\cosh x$ is even ($\cosh(-x) = \cosh x$), range $[1, \infty)$
- $\sinh x$ is odd ($\sinh(-x) = -\sinh x$), range $(-\infty, \infty)$
- $\tanh x$ is odd, range $(-1, 1)$
2. 双曲恒等式 ★★☆☆☆ ⏱ 20 min
- $\sinh(A+B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$
- $\cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$
- $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1$
- $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$
3. 反双曲函数 ★★★☆☆ ⏱ 20 min
通过限制定义域使核心双曲函数成为一一对应函数，我们可以定义反双曲函数，并且它们可以精确地用自然对数表示。
4. 双曲函数的微积分 ★★★☆☆ ⏱ 25 min
对双曲函数和反双曲函数求导积分会得到标准结果，这些结果经常用于处理含根号下二次式的积分问题。
Common Pitfalls
Why: 学生经常忘记对包含两个正弦乘积的项改变符号
Why: 该函数在$x < 1$时无定义，因此任何该定义域下的结果都是无效的
Why: 混淆了$\tan x$的导数，导致错误的负号
Why: 换元$u = kx$时，$du = kdx$因此$dx = \frac{du}{k}$，这个因子经常被遗漏