# 双曲函数

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-hyperbolic-functions/

本模块涵盖双曲函数的定义、图像、恒等式、反函数以及微积分运算，符合CIE 9231 A-Level进阶数学的考试要求。

**先修:** [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-p1-exponential-logarithms/); [基础求导与积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-p1-differentiation-integration/)

## 学习目标

- 用指数函数定义双曲函数
- 绘制双曲函数与反双曲函数的图像，并陈述它们的关键性质
- 证明并应用标准双曲恒等式
- 对双曲函数和反双曲函数求导与积分
- 求解含双曲函数的方程

## 双曲函数的定义与图像

**核心双曲函数** — 所有双曲函数均由指数函数定义：$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$, $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$, $\text{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x}$, $\text{csch}\,x = \frac{1}{\sinh x}$

*记法:* $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\coth x$, $\text{sech}\,x$, $\text{csch}\,x$

*例:* $\sinh 0 = 0$, $\cosh 0 = 1$, $\tanh 0 = 0$

双曲函数与三角函数有许多相似之处，但奇偶性和值域性质不同：

- $\cosh x$ is even ($\cosh(-x) = \cosh x$), range $[1, \infty)$
- $\sinh x$ is odd ($\sinh(-x) = -\sinh x$), range $(-\infty, \infty)$
- $\tanh x$ is odd, range $(-1, 1)$

**例题:** 求$\cosh(\ln 3)$的精确值

1. 从$\cosh x$的定义出发：

   $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
2. 代入$x = \ln 3$，利用性质$e^{k\ln a} = a^k$：

   $$e^{\ln 3} = 3, \quad e^{-\ln 3} = \frac{1}{3}$$
3. 计算并化简：

   $$\cosh(\ln 3) = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

## 双曲恒等式

> **奥斯本法则**
>
> 将三角恒等式转换为双曲恒等式时：替换$\cos \to \cosh$, $\sin \to \sinh$，然后将所有包含两个正弦乘积的项改变符号。

**基本勾股双曲恒等式** — 所有双曲函数的核心恒等式为：$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

- $\sinh(A+B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$
- $\cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$
- $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1$
- $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$

**例题:** 利用指数定义证明$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

1. 将$\cosh x$和$\sinh x$的定义代入左侧：

   $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2$$
2. 展开两个平方项：

   $$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$$
3. 化简分子：

   $$= \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
4. 结果与右侧相等，证明完成。

## 反双曲函数

通过限制定义域使核心双曲函数成为一一对应函数，我们可以定义反双曲函数，并且它们可以精确地用自然对数表示。

**反双曲函数的对数形式** — $\text{arsinh}\,x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ for all $x \in \mathbb{R}$; $\text{arcosh}\,x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$ for $x \geq 1$; $\text{artanh}\,x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ for $|x| < 1$

*记法:* $\text{arsinh}\,x$, $\text{arcosh}\,x$, $\text{artanh}\,x$

**例题:** 将$\text{arsinh}\,3$表示为精确自然对数形式

1. 使用$\text{arsinh}\,x$的标准对数形式：

   $$\text{arsinh}\,x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$
2. 代入$x = 3$：

   $$x^2 + 1 = 9 + 1 = 10$$
3. 最终结果：

   $$\text{arsinh}\,3 = \ln\left(3 + \sqrt{10}\right)$$

**概念自测**

测试你对定义域限制的理解

1. $\text{arcosh}\,x$的定义域是什么？

   - 全体实数
   - $x \geq 1$
   - $|x| < 1$
   - $x > 0$

   *答案:* $x \geq 1$

   *解析:* 正确：$\cosh x$的值域为$[1, \infty)$，因此反函数$\text{arcosh}\,x$的定义域为$[1, \infty)$

## 双曲函数的微积分

对双曲函数和反双曲函数求导积分会得到标准结果，这些结果经常用于处理含根号下二次式的积分问题。

| 函数 | 导数 |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\text{sech}^2 x$ |
| $\text{arsinh}\,x$ | $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ |
| $\text{arcosh}\,x$ | $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ |
| $\text{artanh}\,x$ | $\frac{1}{1-x^2}$ |

**例题:** 求$x > \frac{4}{3}$时$\int \frac{1}{\sqrt{9x^2 - 16}} dx$

1. 提出常数，使其符合反双曲函数的标准积分形式：

   $$\int \frac{1}{\sqrt{9x^2 - 16}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{(3x)^2 - 4^2}} d(3x)$$
2. 使用标准结果$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}} du = \text{arcosh}\left(\frac{u}{a}\right) + C$：

   $$= \frac{1}{3} \text{arcosh}\left(\frac{3x}{4}\right) + C$$
3. 如果需要，也可以改写为对数形式：

   $$= \frac{1}{3} \ln\left(3x + \sqrt{9x^2 - 16}\right) + C'$$

> **exam_tip**
>
> 务必检查结果的定义域，因为积分形式会随$x$的不同范围变化。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 使用奥斯本法则时双曲恒等式的符号错误
  - 原因: 学生经常忘记对包含两个正弦乘积的项改变符号
  - 正确做法: 系统地应用奥斯本法则：所有包含两个双曲正弦乘积的项都要改变符号
- **错误做法:** 在$x < 1$时使用$\text{arcosh}\,x$
  - 原因: 该函数在$x < 1$时无定义，因此任何该定义域下的结果都是无效的
  - 正确做法: 使用$\text{arcosh}\,x$前，始终检查其自变量不小于1
- **错误做法:** 将$\tanh x$的导数写为$-\text{sech}^2 x$
  - 原因: 混淆了$\tan x$的导数，导致错误的负号
  - 正确做法: 记住$\frac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$，该导数没有负号
- **错误做法:** 积分中进行线性换元时遗漏常数因子
  - 原因: 换元$u = kx$时，$du = kdx$因此$dx = \frac{du}{k}$，这个因子经常被遗漏
  - 正确做法: 换元后始终根据换元的导数调整积分，以在最终结果中得到正确的常数因子

## 速查表

| 函数 | 定义 | 导数 | 反函数对数形式 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ | $\cosh x$ | $\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ |
| $\cosh x$ | $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ | $\sinh x$ | $\ln(x + \sqrt{x^2-1}), x\geq 1$ |
| $\tanh x$ | $\frac{\sinh x}{\cosh x}$ | $\text{sech}^2 x$ | $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right), \|x\|<1$ |
| 核心恒等式 | - | - | $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ |
| $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$ | - | - | $\text{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$ |
| $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx$ | - | - | $\text{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$ |

## 下一步

双曲函数是进阶纯数2的基础内容，经常出现在积分问题、弧长计算、坐标几何和微分方程求解中。掌握双曲函数的恒等式和微积分结果可以简化降阶公式、反常积分等更高级内容。许多使用反三角函数的积分结果也可以用反双曲函数表示，因此本主题可帮助你串联微积分的不同领域，为考试中的综合题做好准备。

- [进阶求导及其应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-differentiation-and-applications/)
- [进一步积分及其应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-integration-and-applications/)
- [复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-complex-numbers/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-hyperbolic-functions/