进一步积分及其应用

CIE A-Level 进阶数学· 第2单元进阶纯数学2，第3主题· 25 分钟阅读

1. 反常积分★★★☆☆⏱ 8 min

📘 定义

反常积分

如果积分有一个或两个无穷端点，或者被积函数在积分端点或积分区间内存在间断点（垂直渐近线），则该积分是反常积分。

例:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x$ (infinite bound); $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$ (discontinuity at $x = 0$ )

计算反常积分时，将有问题的端点/间断点替换为变量，取变量趋近端点的极限，如果极限存在则计算定积分。如果极限不是有限值，则积分发散。

📐 例题

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x ^{2}} d x$ ，并说明它是否发散。

1
被积函数在 $x = 1$ 处存在间断点，因此改写为左极限：
$\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
2
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ 的原函数是 $sin^{- 1} x$ ，因此计算定积分：
$\lim_{a \to 1^-} \left[ \sin^{-1}x \right]_0^a = \lim_{a \to 1^-} \left( \sin^{-1}(a) - 0 \right)$
3
代入极限得到最终结果：
$\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$
4
极限存在，因此积分收敛于 $\frac{π}{2}$ 。

2. 曲线的弧长★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

弧长

For $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ : $s = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$ . For parametric $x = x (t), y = y (t)$ , $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ : $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$

两点之间曲线的总长度，通过积分对无穷小直线段求和计算得到。

该公式由对曲线的微小线段应用勾股定理，再积分得到总长度推导而来。考试题中的根号下表达式总会化简为完全平方。

📐 例题

求 $y = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{l n x}{4}$ 在 $x = 1$ 到 $x = 2$ 之间的弧长。

1
对 $y$ 关于 $x$ 求导：
$\frac{dy}{dx} = x - \frac{1}{4x}$
2
化简 $1 + (d y / d x)^{2}$ ：
$1 + \left(x - \frac{1}{4x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2} = \left(x + \frac{1}{4x}\right)^2$
3
代入弧长公式并积分：
$s = \int_1^2 \sqrt{\left(x + \frac{1}{4x}\right)^2} dx = \int_1^2 \left(x + \frac{1}{4x}\right) dx$
4
计算定积分：
$\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{\ln x}{4} \right]_1^2 = \frac{3}{2} + \frac{\ln 2}{4}$

3. 旋转体表面积★★★★☆⏱ 8 min

📘 定义

旋转体表面积

Rotation around $x$ -axis ( $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ ): $S = 2 π \int_{a}^{b} y 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$ . Rotation around $y$ -axis: $S = 2 π \int_{a}^{b} x 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$

曲线绕轴旋转形成的立体的总曲面面积。

该公式通过将曲面近似为一系列细截头圆锥，再取截头圆锥数量增加的极限推导而来。这个公式很容易和旋转体体积公式混淆，因此请仔细记忆。

📐 例题

求 $y = 4 - x^{2}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间绕 $x$ 轴旋转360°形成的立体的表面积。

1
对 $y$ 关于 $x$ 求导：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$
2
化简 $1 + (d y / d x)^{2}$ ：
$1 + \frac{x^2}{4 - x^2} = \frac{4}{4 - x^2}$
3
代入表面积公式：
$S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{4 - x^2} \times \sqrt{\frac{4}{4 - x^2}} dx = 2\pi \int_0^1 2 dx$
4
计算积分：
$4\pi \left[ x \right]_0^1 = 4\pi$

4. 约化公式★★★★☆⏱ 10 min

📘 定义

约化公式

将依赖于整数 $n$ 的积分 $I_{n}$ 与更低索引的积分联系起来的递推关系，用于计算大 $n$ 的积分值。

例:

For $I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$ , $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$

几乎所有约化公式都通过分部积分推导得到。推导出公式后，你从要求的 $n$ 递推到基例（通常是 $I_{0}$ 或 $I_{1}$ ），得到最终数值结果。

📐 例题

已知 $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ ，证明 $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ ，据此求 $I_{3}$ 。

1
用分部积分，令 $u = x^{n}$ ， $d v = e^{x} d x$ ：
$du = n x^{n-1} dx, v = e^x$
2
应用分部积分公式 $\int u d v = uv - \int v d u$ ：
$I_n = \left[ x^n e^x \right]_0^1 - \int_0^1 n x^{n-1} e^x dx$
3
计算边界项得到约化公式：
$I_n = e - n I_{n-1}$
4
计算基例并递推得到 $I_{3}$ ：
$I_0 = e-1, I_1 = e - I_0 = 1, I_2 = e - 2I_1 = e-2, I_3 = e - 3I_2 = 6 - 2e$

5. 常见陷阱

错误做法:

反常积分计算中忘记检查积分区间内部的间断点。

原因:

即使两个端点都是有限值，区间内部的间断点也说明这是反常积分；忽略它会得到错误结果。

正确做法:

开始积分前务必检查被积函数无定义的点。

错误做法:

混淆旋转体表面积和体积公式，忘记表面积公式中额外的 $y$ 或 $x$ 项。

原因:

这是考试中最常见的错误之一，会导致整题失分。

正确做法:

记住：体积公式用 $π y^{2}$ ，表面积公式用 $2 π y$ 乘以根号项。

错误做法:

对平方项开根号后，在积分区间保留负号。

原因:

平方根的结果是非负的，因此负根会得到错误的弧长/表面积结果。

正确做法:

始终确认根号下化简后的表达式是非负的，取正根。

错误做法:

只推导了约化公式，忘记计算要求的 $n$ 对应的值。

原因:

考试题几乎总是同时要求推导和最终计算，因此漏掉第二部分会丢失容易拿到的分数。

正确做法:

推导出约化公式后，务必再次检查题目要求。

错误做法:

记错弧长公式，漏掉根号内的 $1 +$ 项。

原因:

这个公式不会在公式册中提供，因此一个小错误就会导致整题零分。

正确做法:

考试时在脑中用勾股定理推导确认： $(d s)^{2} = (d x)^{2} + (d y)^{2}$ ，所以 $d s = 1 + (d y / d x)^{2} d x$ 。

6. 速查表

概念	$y = f (x)$ ， $a \leq x \leq b$ 的公式
反常积分（无穷上限）	$\int_{a}^{\infty} f (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) d x$
反常积分（ $x = b$ 处间断）	$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f (x) d x$
弧长	$s = \int_{a}^{b} 1 + (d y / d x)^{2} d x$
表面积（绕 $x$ 轴旋转）	$S = 2 π \int_{a}^{b} y 1 + (d y / d x)^{2} d x$
表面积（绕 $y$ 轴旋转）	$S = 2 π \int_{a}^{b} x 1 + (d y / d x)^{2} d x$
约化公式	$I_{n}$ 的递推关系，由分部积分推导得到

7. 常见问题

弧长和表面积公式会在公式册中提供吗？

不会，CIE 9231 不会提供这些公式，因此你必须记住它们。

反常积分什么时候发散？

当端点趋近极限时，定积分的极限不存在有限值，则该积分发散。

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下一步

本子主题建立在AS和A-Level数学的核心积分技巧之上，为CIE A-Level进阶数学中更高级的微积分主题（包括进一步微分方程和多变量微积分）打下坚实基础。你在这里学到的技巧，尤其是反常积分计算和约化公式的应用，也广泛用于力学、统计学和理论物理等应用主题，这些领域经常需要在无穷区间上积分或求解递归积分。掌握弧长和表面积这些积分的几何应用，也会帮助你解决涉及定长或变曲线的应用问题。以下是接下来可以学习的相关主题。

→复数
→微分方程