# 进一步积分及其应用

> CIE A-Level 进阶数学 · FP2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-integration-and-applications/

本子主题涵盖反常积分、弧长计算、旋转体表面积和约化公式，是FP2的核心内容，经常在高分大题中被考察。

**先修:** [基础A-Level积分技巧](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-integration-techniques/); [直角坐标和参数函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-differentiation/)

## 学习目标

- 计算收敛和发散的反常积分
- 计算直角坐标和参数曲线的弧长
- 求旋转体的表面积
- 推导并应用定积分的约化公式

## 反常积分

**反常积分** — 如果积分有一个或两个无穷端点，或者被积函数在积分端点或积分区间内存在间断点（垂直渐近线），则该积分是反常积分。

*例:* $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx$ (infinite bound); $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (discontinuity at $x=0$)

计算反常积分时，将有问题的端点/间断点替换为变量，取变量趋近端点的极限，如果极限存在则计算定积分。如果极限不是有限值，则积分发散。

**例题:** 计算$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$，并说明它是否发散。

1. 被积函数在$x=1$处存在间断点，因此改写为左极限：

   $$\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$$
2. $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$的原函数是$\sin^{-1}x$，因此计算定积分：

   $$\lim_{a \to 1^-} \left[ \sin^{-1}x \right]_0^a = \lim_{a \to 1^-} \left( \sin^{-1}(a) - 0 \right)$$
3. 代入极限得到最终结果：

   $$\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$$
4. 极限存在，因此积分收敛于$\frac{\pi}{2}$。

> **warning**
>
> 务必检查积分区间内部的间断点，而不仅仅是端点处。在任何内部间断点处拆分积分。

## 曲线的弧长

**弧长** — 两点之间曲线的总长度，通过积分对无穷小直线段求和计算得到。

*记法:* For $y=f(x)$, $a \leq x \leq b$: $s = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx$. For parametric $x=x(t), y=y(t)$, $t_1 \leq t \leq t_2$: $s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } dt$

该公式由对曲线的微小线段应用勾股定理，再积分得到总长度推导而来。考试题中的根号下表达式总会化简为完全平方。

**例题:** 求$y = \frac{x^2}{2} - \frac{\ln x}{4}$在$x=1$到$x=2$之间的弧长。

1. 对$y$关于$x$求导：

   $$\frac{dy}{dx} = x - \frac{1}{4x}$$
2. 化简$1 + (dy/dx)^2$：

   $$1 + \left(x - \frac{1}{4x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2} = \left(x + \frac{1}{4x}\right)^2$$
3. 代入弧长公式并积分：

   $$s = \int_1^2 \sqrt{\left(x + \frac{1}{4x}\right)^2} dx = \int_1^2 \left(x + \frac{1}{4x}\right) dx$$
4. 计算定积分：

   $$\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{\ln x}{4} \right]_1^2 = \frac{3}{2} + \frac{\ln 2}{4}$$

> **Exam tip**
>
> 如果你的根号下表达式不能化简为完全平方，说明你在求导或代数运算中出错了，因此尽早检查。

## 旋转体表面积

**旋转体表面积** — 曲线绕轴旋转形成的立体的总曲面面积。

*记法:* Rotation around $x$-axis ($y=f(x)$, $a \leq x \leq b$): $S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx$. Rotation around $y$-axis: $S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx$

该公式通过将曲面近似为一系列细截头圆锥，再取截头圆锥数量增加的极限推导而来。这个公式很容易和旋转体体积公式混淆，因此请仔细记忆。

**例题:** 求$y = \sqrt{4 - x^2}$在$x=0$到$x=1$之间绕$x$轴旋转360°形成的立体的表面积。

1. 对$y$关于$x$求导：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$$
2. 化简$1 + (dy/dx)^2$：

   $$1 + \frac{x^2}{4 - x^2} = \frac{4}{4 - x^2}$$
3. 代入表面积公式：

   $$S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{4 - x^2} \times \sqrt{\frac{4}{4 - x^2}} dx = 2\pi \int_0^1 2 dx$$
4. 计算积分：

   $$4\pi \left[ x \right]_0^1 = 4\pi$$

> **warning**
>
> 除非题目明确要求，否则你只需要计算曲面面积，不需要加上两端圆形平面的面积。

## 约化公式

**约化公式** — 将依赖于整数$n$的积分$I_n$与更低索引的积分联系起来的递推关系，用于计算大$n$的积分值。

*例:* For $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x dx$, $nI_n = (n-1)I_{n-2}$

几乎所有约化公式都通过分部积分推导得到。推导出公式后，你从要求的$n$递推到基例（通常是$I_0$或$I_1$），得到最终数值结果。

**例题:** 已知$I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$，证明$I_n = e - nI_{n-1}$，据此求$I_3$。

1. 用分部积分，令$u = x^n$，$dv = e^x dx$：

   $$du = n x^{n-1} dx, v = e^x$$
2. 应用分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$：

   $$I_n = \left[ x^n e^x \right]_0^1 - \int_0^1 n x^{n-1} e^x dx$$
3. 计算边界项得到约化公式：

   $$I_n = e - n I_{n-1}$$
4. 计算基例并递推得到$I_3$：

   $$I_0 = e-1, I_1 = e - I_0 = 1, I_2 = e - 2I_1 = e-2, I_3 = e - 3I_2 = 6 - 2e$$

## 常见错误

- **错误做法:** 反常积分计算中忘记检查积分区间内部的间断点。
  - 原因: 即使两个端点都是有限值，区间内部的间断点也说明这是反常积分；忽略它会得到错误结果。
  - 正确做法: 开始积分前务必检查被积函数无定义的点。
- **错误做法:** 混淆旋转体表面积和体积公式，忘记表面积公式中额外的$y$或$x$项。
  - 原因: 这是考试中最常见的错误之一，会导致整题失分。
  - 正确做法: 记住：体积公式用$\pi y^2$，表面积公式用$2\pi y$乘以根号项。
- **错误做法:** 对平方项开根号后，在积分区间保留负号。
  - 原因: 平方根的结果是非负的，因此负根会得到错误的弧长/表面积结果。
  - 正确做法: 始终确认根号下化简后的表达式是非负的，取正根。
- **错误做法:** 只推导了约化公式，忘记计算要求的$n$对应的值。
  - 原因: 考试题几乎总是同时要求推导和最终计算，因此漏掉第二部分会丢失容易拿到的分数。
  - 正确做法: 推导出约化公式后，务必再次检查题目要求。
- **错误做法:** 记错弧长公式，漏掉根号内的$1 +$项。
  - 原因: 这个公式不会在公式册中提供，因此一个小错误就会导致整题零分。
  - 正确做法: 考试时在脑中用勾股定理推导确认：$(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2$，所以$ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$。

## 速查表

| 概念 | $y=f(x)$，$a \leq x \leq b$的公式 |
| --- | --- |
| 反常积分（无穷上限） | $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$ |
| 反常积分（$x=b$处间断） | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x) dx$ |
| 弧长 | $s = \int_a^b \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$ |
| 表面积（绕$x$轴旋转） | $S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$ |
| 表面积（绕$y$轴旋转） | $S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$ |
| 约化公式 | $I_n$的递推关系，由分部积分推导得到 |

## 下一步

本子主题建立在AS和A-Level数学的核心积分技巧之上，为CIE A-Level进阶数学中更高级的微积分主题（包括进一步微分方程和多变量微积分）打下坚实基础。你在这里学到的技巧，尤其是反常积分计算和约化公式的应用，也广泛用于力学、统计学和理论物理等应用主题，这些领域经常需要在无穷区间上积分或求解递归积分。掌握弧长和表面积这些积分的几何应用，也会帮助你解决涉及定长或变曲线的应用问题。以下是接下来可以学习的相关主题。

- [复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-complex-numbers/)
- [微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-differential-equations/)

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