# 进阶求导及其应用

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231 进阶纯数学2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-differentiation-and-applications/

本子主题将基础求导拓展到高级求导技术，包括参数求导、隐函数求导和高阶求导，并应用于级数展开和驻点分类。这些方法是进阶纯数学的核心内容，在两份试卷中都频繁出现。

**先修:** [基础求导、乘积/链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-basic-differentiation/); 参数方程; 二项式系数与阶乘

## 学习目标

- 对参数函数、隐函数和反函数求导
- 使用莱布尼茨定理求乘积的n阶导数
- 构造函数的麦克劳林级数和泰勒级数展开
- 利用高阶导数对驻点分类

## 高级求导技术

除了显函数的基础求导，我们将技术拓展到隐式定义的关系和参数方程表示的曲线，这些都是CIE考试中的常见题型。

**参数求导** — y对x的导数可通过y对t的导数除以x对t的导数得到：

*记法:* $x = x(t), y = y(t)$

*例:* For $x = t^2, y = \sin t$, $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{2t}$

**例题:** 求由参数方程$x = 2\cos\theta$，$y = 3\sin\theta$定义的椭圆在$\theta = \frac{\pi}{4}$处的$\frac{dy}{dx}$。

1. 首先分别对x和y关于$\theta$求导：
2. $$\frac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = 3\cos\theta$$
3. 应用参数求导公式$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos\theta}{-2\sin\theta} = -\frac{3}{2}\cot\theta$$
5. 代入$\theta = \frac{\pi}{4}$，其中$\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$：
6. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta=\frac{\pi}{4}} = -\frac{3}{2}}]}}},{$$

莱布尼茨定理将乘积法则推广到n阶导数，常用于计算麦克劳林级数的系数。

**莱布尼茨定理** — 乘积的n阶导数由如下类似二项式展开的和式给出：

*记法:* $y = u(x)v(x)$

$$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}}{}, {}}, {}}, {{$$

**例题:** 使用莱布尼茨定理求$y = x^2 \sin x$的三阶导数。

1. 将乘积拆分为$u = x^2$（所有高于二阶的导数都为零，可以简化求和）和$v = \sin x$。u的各阶导数为：$u = x^2$，$u' = 2x$，$u'' = 2$，当$k \geq 3$时$u^{(k)} = 0$。$v = \sin x$的n阶导数为$v^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$。
2. 代入n=3时的莱布尼茨定理：
3. $$y^{(3)} = \binom{3}{0}u v^{(3)} + \binom{3}{1}u' v^{(2)} + \binom{3}{2}u'' v^{(1)} + 0$$
4. 代入每一项的值：
5. $$y^{(3)} = x^2(-\cos x) + 3(2x)(-\sin x) + 3(2)(\cos x)$$
6. 化简得到最终结果：
7. $$y^{(3)} = (6 - x^2)\cos x - 6x \sin x}]}], {}}, {}}, {}},$$

*计算器:* forbidden

*计算器:* forbidden

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-differentiation-and-applications/