# 微分方程

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数 2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-differential-equations/

本模块讲解一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程的核心求解方法，是CIE A-Level进阶数学FP2中分值占比很高的核心考点。

**先修:** [基础微分和积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-integration-techniques/); [二次方程与根](https://www.owlsprep.com/zh/study/alevel-pure-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 使用积分因子法求解一阶线性微分方程
- 求解齐次和非齐次二阶常系数线性微分方程
- 应用边界条件求微分方程的特解

## 一阶线性微分方程

**一阶线性微分方程** — 一阶方程，其中 $y$ 及其导数均为一次幂，系数可以是自变量 $x$ 的函数。

*记法:* \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

*例:* \frac{dy}{dx} + 3y = e^x

要求解上述标准形式的方程，我们首先计算积分因子 $I(x) = e^{\int P(x) dx}$。将方程两边同时乘以 $I(x)$：根据乘积法则，左侧可化简为 $\frac{d}{dx}\left(I(x)y\right)$。对两边积分即可求解 $y$。

**例题:** 已知 $x=1$ 时 $y=2$，求解 $x>0$ 时的方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$。

1. 1. 从标准形式中确定 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = x^2$。
2. 2. 计算积分因子：
3. $$\int P(x) dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x \implies I(x) = e^{\ln x} = x$$
4. 3. 将方程两边同时乘以 $I(x)$：
5. $$x \frac{dy}{dx} + y = x^3$$
6. 4. 将左侧重写为乘积法则的导数形式：
7. $$\frac{d}{dx}\left(xy\right) = x^3$$
8. 5. 对两边积分，加上积分常数：
9. $$xy = \frac{x^4}{4} + C$$
10. 6. 代入边界条件 $y=2, x=1$ 求 $C$：
11. $$(1)(2) = \frac{1^4}{4} + C \implies C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$
12. 7. 整理得到最终解：
13. $$y = \frac{x^3}{4} + \frac{7}{4x}$$

> **考试提示:** 计算积分因子前，一定要先整理方程，使 $\frac{dy}{dx}$ 的系数为 1，避免 $P(x)$ 的符号或取值出错。

## 齐次二阶微分方程

**齐次二阶线性微分方程（常系数）** — 所有项都包含 $y$ 或其导数的二阶方程，系数 $a,b,c$ 为常数，方程右侧为零。

*记法:* a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \quad (a \neq 0)

我们通过构造辅助（特征）二次方程 $am^2 + bm + c = 0$ 来求解这类方程。通解的形式完全由该二次方程根的性质决定：

1. 两个不同实根 $m_1, m_2$: $y = A e^{m_1 x} + B e^{m_2 x}$
2. 一个重实根 $m$: $y = (A + Bx) e^{m x}$
3. 一对共轭复根 $\alpha \pm i\beta$: $y = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x)$

**例题:** 求 $\frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0$ 的通解。

1. 1. 根据系数构造辅助方程：
2. $$m^2 - 4m + 4 = 0$$
3. 2. 因式分解求根：
4. $$(m-2)^2 = 0 \implies m = 2 \text{ (重根)}$$
5. 3. 使用重根的通解公式：
6. $$y = (A + Bx) e^{2x}$$

## 非齐次二阶微分方程

**非齐次二阶线性微分方程（常系数）** — 通解 = 余函数（CF，齐次方程的解） + 特积分（PI，任意满足完整非齐次方程的解）。

*记法:* a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = f(x) \quad (a \neq 0, f(x) \neq 0)

我们使用待定系数法求特积分：根据 $f(x)$ 猜测特积分的形式，代入方程求解未知系数。如果猜测的形式与余函数中的某一项相同，则将其乘以 $x$（重根时乘以 $x^2$）以得到线性无关解。

> **warning**
>
> 如果猜测的特积分与余函数重合却未调整，得到的解一定错误，因为代入后会得到无法求解的等式 0 = f(x)。

**例题:** 求 $\frac{d^2 y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2 y = 6 e^{4x}$ 的通解。

1. 1. 首先求解齐次方程得到余函数：
2. $$m^2 - 3m + 2 = 0 \implies (m-1)(m-2) = 0 \implies m = 1, 2$$
3. 因此余函数为：
4. $$CF: y = A e^x + B e^{2x}$$
5. 2. 猜测特积分：$f(x) = 6e^{4x}$，且 4 不是辅助方程的根，因此试设 $y = C e^{4x}$。
6. 3. 计算导数并代入方程左侧：
7. $$\frac{dy}{dx} = 4C e^{4x}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = 16C e^{4x}$$
8. $$16C e^{4x} - 3(4C e^{4x}) + 2(C e^{4x}) = 6C e^{4x}$$
9. 4. 与右侧等式相等求解 C：
10. $$6C e^{4x} = 6 e^{4x} \implies C = 1$$
11. 5. 通解为 $y = CF + PI$：
12. $$y = A e^x + B e^{2x} + e^{4x}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 未将一阶微分方程整理为标准形式就计算积分因子。
  - 原因: 如果 $\frac{dy}{dx}$ 的系数不是 1，得到的 $P(x)$ 就是错误的，最终解也不正确。
  - 正确做法: 计算 $I(x)$ 前，一定要将整个方程除以 $\frac{dy}{dx}$ 的系数，使其系数等于 1。
- **错误做法:** 对于辅助方程的重根，错误写为 $y = A e^{mx} + B e^{mx} = (A+B)e^{mx}$。
  - 原因: 这会化简为仅一个任意常数，对于二阶方程来说是错误的。
  - 正确做法: 对于重根 $m$，使用 $y = (A + Bx)e^{mx}$，该形式包含两个独立的任意常数。
- **错误做法:** 即使 $f(x)$ 与余函数重合，仍然使用原本的特积分猜测形式。
  - 原因: 代入本身就是齐次方程解的特积分会让左侧等于 0，永远不可能等于非零的 $f(x)$。
  - 正确做法: 将你的特积分猜测乘以 $x$（重根时乘以 $x^2$）得到线性无关解，再代入求解。
- **错误做法:** 一阶微分方程积分后忘记添加积分常数。
  - 原因: 省略 $C$ 意味着通解缺少了必需的任意常数，也无法根据边界条件求出正确的特解。
  - 正确做法: 积分完成后立即添加 $C$，再代入边界条件求解它的值。

## 速查表

| 方程类型 | 通解形式 |
| --- | --- |
| 一阶线性: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ | $I = e^{\int P dx}, \quad y = \frac{1}{I}\left(\int I Q dx + C\right)$ |
| 齐次二阶：不同实根 $m_1 \neq m_2$ | $y = A e^{m_1 x} + B e^{m_2 x}$ |
| 齐次二阶：重根 $m$ | $y = (A + Bx) e^{m x}$ |
| 齐次二阶：复根 $\alpha \pm i\beta$ | $y = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x)$ |
| 非齐次二阶 | $y = \text{余函数} + \text{特积分}$ |

## 下一步

微分方程是CIE 9231中考查频率最高的考点之一，在两份进阶纯数试卷中都会出现，还常与力学建模问题结合考查。牢固掌握本文讲解的方法是考试拿高分的关键。本主题是后续学习更高级微分方程主题的基础，也是A-Level进阶数学中各类应用问题的基础。接下来，你可以学习如何使用这些方法对现实系统建模，或者继续学习FP2的其他核心主题。

- [进阶力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-overview/)
- [动量与冲量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-momentum-and-impulse/)

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