# 复数

> CIE A-Level 进阶数学 · 9231 进阶纯数学 2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-complex-numbers/

本子主题建立在CIE A-Level进阶数学基础复数知识之上，涵盖复数的高级表示、棣莫弗定理、n次方根和阿干图上的几何轨迹。

**先修:** [基础复数（直角坐标形式、运算）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-as-complex-numbers/); [三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-p1-trigonometric-identities/)

## 学习目标

- 在直角坐标形式、极坐标形式和指数形式之间转换复数
- 应用棣莫弗定理求解复数的幂和方根
- 求n次单位根，并求解含有复根的多项式方程
- 在阿干图上识别并绘制复数的轨迹

## 复数的表示形式

**极坐标形式与指数形式** — 对于复数 $z = x + iy$，$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是模，$\theta = \arg z$ 是辐角，通常取主值区间 $(-\pi, \pi]$

*记法:* $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

*例:* $z = 1 + i$ 的模为 $\sqrt{2}$，辐角为 $\frac{\pi}{4}$，因此极坐标形式为 $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$，指数形式为 $\sqrt{2}e^{i\pi/4}$

不同形式之间的转换使用标准坐标几何关系：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，因此你可以直接从极坐标形式转换为直角坐标形式。从直角坐标形式转换为极坐标形式时，先计算$r$，再根据点所在象限调整$\theta$的值。

**例题:** 将 $z = -1 + \sqrt{3}i$ 转换为极坐标形式和指数形式

1. 步骤1：计算模 $r$：
2. $$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$
3. 步骤2：求辐角。$z$ 位于第二象限，因此先求参考角 $\alpha$：
4. $$\tan\alpha = \frac{|\sqrt{3}|}{|-1|} = \sqrt{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}, \quad \arg z = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
5. 步骤3：写出最终的两种形式：
6. $$\text{Polar: } 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}\right), \quad \text{Exponential: } 2e^{2i\pi/3}$$

## 棣莫弗定理及其应用

**棣莫弗定理** — 对于任意整数 $n$，$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$。对于任意实数 $n$，该恒等式对右侧的一个主值成立。

*例:* $(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})^2 = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}$

当复数表示为极坐标形式时，棣莫弗定理可以简化复数幂的计算，在二项式展开后通过对比实部和虚部，还可以推导倍角三角恒等式。

**例题:** 利用棣莫弗定理将 $\cos 3\theta$ 表示为 $\cos\theta$ 的函数

1. 步骤1：应用棣莫弗定理，并用二项式定理展开：
2. $$\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta + 3i^2\cos\theta\sin^2\theta + i^3\sin^3\theta$$
3. 步骤2：利用 $i^2 = -1$ 化简，然后对比实部：
4. $$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$$
5. 步骤3：代入 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$，得到仅含 $\cos\theta$ 的结果：
6. $$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

> **tip**
>
> 应用棣莫弗定理时，一定要记得将模也取 $n$ 次幂。对于 $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n$，结果是 $r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。

## 复数的n次方根

任意非零复数都恰好有 $n$ 个不同的n次方根。这些根在阿干图上均匀分布在以原点为圆心、半径为 $r^{1/n}$ 的圆周上。一个常见的特例是满足 $z^n = 1$ 的n次单位根。

**例题:** 求所有三次单位根，写出精确直角坐标形式

1. 步骤1：将1写为广义极坐标形式，包含所有角度：
2. $$1 = 1(\cos 2k\pi + i\sin 2k\pi), \quad k = 0, 1, 2$$
3. 步骤2：对求根应用棣莫弗定理：
4. $$z^{1/3} = 1^{1/3}\left(\cos \frac{2k\pi}{3} + i\sin \frac{2k\pi}{3}\right)$$
5. 步骤3：计算每个不同的根：
6. $$k=0: 1(\cos 0 + i\sin 0) = 1 \\ k=1: \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ k=2: \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

对于实系数多项式，所有复根都共轭成对出现：如果 $a + ib$ 是根，那么 $a - ib$ 也是根。这个性质可以用于将高次多项式完全因式分解。

## 阿干图上的轨迹

轨迹是满足给定条件的点的集合。CIE考试中常见的轨迹用模和辐角定义，可以通过绘图或代数描述。最常见的类型是圆、垂直平分线和半射线。

**例题:** 描述满足 $|z - 2 + i| = 3$ 的点 $z$ 的轨迹

1. 步骤1：将条件改写为标准形式 $|z - z_0| = r$：
2. $$|z - (2 - i)| = 3$$
3. 步骤2：回忆 $|z - z_0|$ 等于阿干图上点 $z$ 与定点 $z_0$ 之间的距离。
4. 步骤3：该条件表示所有到 $z_0 = 2 - i$ 距离为3的点。
5. $$\text{Conclusion: Locus is a circle with centre } (2, -1) \text{ and radius } 3$$

- $|z - z_1| = |z - z_2|$：连接 $z_1$ 和 $z_2$ 线段的垂直平分线
- $\arg(z - z_0) = \alpha$：从 $z_0$ 出发、与正实轴夹角为 $\alpha$ 的半射线
- $|z - z_0| = r$：圆心为 $z_0$、半径为 $r$ 的圆

## 常见错误

- **错误做法:** 对第二或第三象限的点直接使用 $\arg z = \arctan(y/x)$
  - 原因: 标准反正切函数仅返回 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$ 之间的值，因此对于不在第一或第四象限的点会得到错误的角度
  - 正确做法: 先计算参考角，再根据象限调整：第三象限加 $\pi$，第二象限为 $\pi - \alpha$，小于 $-\pi$ 的负角调整为 $-\pi + \alpha$
- **错误做法:** 求n次方根时只计算k=0的情况，仅得到一个根
  - 原因: 每个非零复数都恰好有 $n$ 个不同的n次方根，因此你需要生成所有根
  - 正确做法: 使用 $k = 0, 1, ..., n-1$ 生成所有不同的根，然后停止以避免重复
- **错误做法:** 错误识别轨迹 $|z - a + ib| = r$ 的圆心
  - 原因: 将表达式改写为标准形式 $|z - z_0| = r$ 时出现符号错误
  - 正确做法: 将表达式改写为 $|z - (a - ib)| = r$，即可清楚看到圆心为 $z_0 = a - ib$，坐标为 $(a, -b)$
- **错误做法:** 将起点 $z_0$ 包含在轨迹 $\arg(z - z_0) = \alpha$ 中
  - 原因: 当 $z = z_0$ 时 $\arg(z - z_0)$ 无定义，因为0没有确定的辐角
  - 正确做法: 将半射线的起点画为空心圆，表示它不包含在轨迹中
- **错误做法:** 对直角坐标形式的复数应用棣莫弗定理
  - 原因: 该定理仅适用于极坐标形式的复数，直接对 $x + iy$ 应用会得到错误结果
  - 正确做法: 应用棣莫弗定理前总是先转换为极坐标形式，如果题目要求，再转换回直角坐标形式

## 速查表

| 概念 | 表达式/形式 | 关键性质 |
| --- | --- | --- |
| 直角坐标 | $z = x + iy$ | $\|z\| = \sqrt{x^2+y^2}, \bar{z} = x - iy$ |
| 极坐标 | $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ | $r = \|z\|, \arg z \in (-\pi, \pi]$ |
| 指数 | $z = re^{i\theta}$ | $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ |
| 棣莫弗定理 | $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n$ | $= r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ |
| $w = R(\cos\phi + i\sin\phi)$ 的n次方根 | $z_k = R^{1/n}\left(\cos \frac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)$ | $k = 0, 1, ..., n-1$ 对应n个不同根 |
| $\|z - z_1\| = \|z - z_2\|$ | 垂直平分线 | 连接 $z_1$ 和 $z_2$ 的线段 |
| $\|z - z_0\| = r$ | 圆 | 圆心 $z_0$，半径 $r$ |
| $\arg(z - z_0) = \alpha$ | 半射线 | 起点为 $z_0$ 处的空心圆 |

## 下一步

本子主题构建了纯数学和应用数学所有进一步学习所需的复数基础知识。掌握极坐标形式、棣莫弗定理和轨迹对于复积分、级数、微分方程等主题至关重要，并且复数在物理和工程应用中被广泛使用。本主题在考试中经常与多项式和三角学结合考查，因此扎实的理解将帮助你在试卷的多个部分得分。

- [二阶微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-differential-equations/)
- [进阶力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-complex-numbers/