向量

CIE A-Level 进阶数学· 5 分钟阅读

1. 三维空间中的直线★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

直线的向量方程

\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}

过位置向量为 $a$ 的固定点、平行于方向向量 $d$ 的直线，其中 $t \in R$ 是标量参数。

例:

Line through $(1, 2, 3)$ parallel to $2 - 1 0$ is $r = 123 + t 2 - 1 0$

📐 例题

求过点 $A (1, 0, 2)$ 和 $B (3, 1, - 1)$ 的直线的向量方程。

1
取点 $A$ 的位置向量作为固定点 $a$ ：
2
$\mathbf{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$
3
计算方向向量 $d = A B$ ：
4
$\mathbf{d} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$
5
代入直线的一般方程：
6
$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

2. 平面的向量形式★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

平面的标量积形式

\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = k

以 $n$ 为法向量的平面，其中 $k$ 是常数，等于平面上任意固定点 $a$ 满足 $k = a \cdot n$ 。

例:

Plane with normal $12 - 1$ through $(2, 0, 1)$ gives $k = 2 (1) + 0 (2) + 1 (- 1) = 1$ , so $r \cdot 12 - 1 = 1$

要求过三个点的平面的标量积形式，先计算平面上的两个向量，再取它们的向量积得到法向量。

📐 例题

求过 $P (1, 1, 0)$ 、 $Q (2, 1, 3)$ 和 $R (1, 2, - 1)$ 的平面的标量积形式。

1
求平面上的两个向量：
2
$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
3
通过向量积计算法向量：
4
$\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&3\\0&1&-1\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}$
5
代入点 $P$ 计算 $k$ ：
6
$k = \mathbf{p} \cdot \mathbf{n} = (1)(-3) + (1)(1) + (0)(1) = -2$
7
最终方程（化简为直角坐标形式）：
8
$\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} = -2 \implies 3x - y - z = 2$

3. 最短距离★★★★☆⏱ 20 min

所有距离公式都由向量投影到方向向量或法向量推导而来，常见的几何对象组合都有标准公式：

点到直线的距离
点到平面的距离
两条异面直线的距离
两个平行平面的距离

📐 例题

求点 $P (2, 1, 3)$ 到平面 $x + 2 y - 2 z = 1$ 的最短距离。

1
使用点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到平面 $a x + b y + cz = d$ 的标准距离公式：
2
$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
3
代入数值 $a = 1, b = 2, c = - 2, d = 1, x_{0} = 2, y_{0} = 1, z_{0} = 3$ ：
4
$D = \frac{|(1)(2) + (2)(1) + (-2)(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3|}{3} = 1$
5
最短距离为1单位长度。

4. 交点与夹角★★★☆☆⏱ 15 min

求交点时，将直线的参数形式代入平面方程，求解参数后得到交点坐标。求夹角时，我们使用标量积计算方向向量或法向量之间的锐角。

📐 例题

求平面 $x + y + z = 1$ 和 $2 x - y + 3 z = 2$ 之间的锐角。

1
两个平面的夹角等于它们法向量之间的锐角：
2
$\mathbf{n}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{n}_2 = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
3
使用锐角 $θ$ 的标量积公式：
4
$\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}$
5
计算每一项：
6
$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 4, \quad |\mathbf{n}_1| = \sqrt{3}, \quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{14}$
7
求解 $θ$ ：
8
$\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{42}} \approx 0.617 \implies \theta \approx 52^\circ$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算距离或夹角时忘记取绝对值

原因:

距离始终非负，且除非另有说明，考试要求给出锐角

正确做法:

距离和夹角公式的分子一定要加绝对值

错误做法:

计算直线与平面的夹角时使用 $cos θ$

原因:

直线与平面的夹角和直线方向与平面法向量的夹角互余

正确做法:

Use $sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$ for line-plane angles

错误做法:

假设三维空间中所有不平行的直线都相交

原因:

异面直线不平行且不相交，这是考试中常见的出题情境

正确做法:

一定要检查是否相交，若为异面直线则计算最短距离

错误做法:

推导平面方程后不检查计算结果

原因:

计算 $k$ 或整理方程时的微小算术错误会导致答案错误

正确做法:

将三个原始点都代回最终平面方程进行验证

6. 速查表

对象类型	向量形式	核心公式
过 $a$ 且平行于 $d$ 的直线	$r = a + t d$
过 $a$ 且以 $n$ 为法向量的平面	$r \cdot n = a \cdot n$
点 $P$ 到平面的距离		$\frac{∣ p \cdot n - k ∣}{∣ n ∣}$
点 $P$ 到直线的距离		$∣ A P - (A P \cdot \hat{d}) \hat{d} ∣$
两条直线的夹角		$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$
两个平面的夹角		$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$
直线与平面的夹角		$sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
点到平面的距离
2023 · 1
直线与平面的交点
2021 · 1
两个平面的夹角

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三维向量是CIE A-Level进阶数学多个领域的基础主题，包括力学中的三维运动学、线性代数，以及进阶纯数2中的进阶向量几何。掌握此处的公式和方法对于求解卷1中频繁出现的大型几何问题至关重要，该部分约占FP1试卷分值的10-15%。你在本子主题中学到的向量技巧会在后续单元学习矩阵、线性变换和更高级的向量问题时得到拓展。