# 向量

> CIE A-Level 进阶数学 · 进阶纯数1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-vectors/

本子主题涵盖CIE A-Level进阶数学FP1中的三维空间向量几何。你将学习表示直线和平面、计算距离与夹角，以及求解卷1中频繁出现的常见相交问题。

**先修:** [基础向量代数、标量积与向量积](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-pure-vectors/)

## 学习目标

- 用向量形式表示三维空间中的直线和平面
- 计算直线间、平面间的夹角
- 求点、直线、平面之间的最短距离
- 求解直线与平面的相交问题
- 将向量积和标量积应用于几何问题

## 三维空间中的直线

**直线的向量方程** — 过位置向量为$\mathbf{a}$的固定点、平行于方向向量$\mathbf{d}$的直线，其中$t \in \mathbb{R}$是标量参数。

*记法:* \mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}

*例:* Line through $(1,2,3)$ parallel to $\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ is $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$

**例题:** 求过点$A(1, 0, 2)$和$B(3, 1, -1)$的直线的向量方程。

1. 取点$A$的位置向量作为固定点$\mathbf{a}$：
2. $$\mathbf{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$
3. 计算方向向量$\mathbf{d} = \overrightarrow{AB}$：
4. $$\mathbf{d} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$$
5. 代入直线的一般方程：
6. $$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

> **tip**
>
> $\mathbf{d}$的任意非零标量倍数都是有效的方向向量，因此你的答案形式可能不同但仍然正确。

## 平面的向量形式

**平面的标量积形式** — 以$\mathbf{n}$为法向量的平面，其中$k$是常数，等于平面上任意固定点$\mathbf{a}$满足$k = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}$。

*记法:* \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = k

*例:* Plane with normal $\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ through $(2,0,1)$ gives $k = 2(1) + 0(2) + 1(-1) = 1$, so $\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} = 1$

要求过三个点的平面的标量积形式，先计算平面上的两个向量，再取它们的向量积得到法向量。

**例题:** 求过$P(1,1,0)$、$Q(2,1,3)$和$R(1,2,-1)$的平面的标量积形式。

1. 求平面上的两个向量：
2. $$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$
3. 通过向量积计算法向量：
4. $$\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&3\\0&1&-1\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}$$
5. 代入点$P$计算$k$：
6. $$k = \mathbf{p} \cdot \mathbf{n} = (1)(-3) + (1)(1) + (0)(1) = -2$$
7. 最终方程（化简为直角坐标形式）：
8. $$\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} = -2 \implies 3x - y - z = 2$$

## 最短距离

所有距离公式都由向量投影到方向向量或法向量推导而来，常见的几何对象组合都有标准公式：

- 点到直线的距离
- 点到平面的距离
- 两条异面直线的距离
- 两个平行平面的距离

**例题:** 求点$P(2, 1, 3)$到平面$x + 2y - 2z = 1$的最短距离。

1. 使用点$(x_0,y_0,z_0)$到平面$ax + by + cz = d$的标准距离公式：
2. $$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
3. 代入数值$a=1, b=2, c=-2, d=1, x_0=2, y_0=1, z_0=3$：
4. $$D = \frac{|(1)(2) + (2)(1) + (-2)(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3|}{3} = 1$$
5. 最短距离为1单位长度。

> **warning**
>
> 分子必须取绝对值，因为距离是非负量。

## 交点与夹角

求交点时，将直线的参数形式代入平面方程，求解参数后得到交点坐标。求夹角时，我们使用标量积计算方向向量或法向量之间的锐角。

**例题:** 求平面$x + y + z = 1$和$2x - y + 3z = 2$之间的锐角。

1. 两个平面的夹角等于它们法向量之间的锐角：
2. $$\mathbf{n}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{n}_2 = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$$
3. 使用锐角$\theta$的标量积公式：
4. $$\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}$$
5. 计算每一项：
6. $$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 4, \quad |\mathbf{n}_1| = \sqrt{3}, \quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{14}$$
7. 求解$\theta$：
8. $$\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{42}} \approx 0.617 \implies \theta \approx 52^\circ$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算距离或夹角时忘记取绝对值
  - 原因: 距离始终非负，且除非另有说明，考试要求给出锐角
  - 正确做法: 距离和夹角公式的分子一定要加绝对值
- **错误做法:** 计算直线与平面的夹角时使用$\cos\theta$
  - 原因: 直线与平面的夹角和直线方向与平面法向量的夹角互余
  - 正确做法: Use $\sin\theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}$ for line-plane angles
- **错误做法:** 假设三维空间中所有不平行的直线都相交
  - 原因: 异面直线不平行且不相交，这是考试中常见的出题情境
  - 正确做法: 一定要检查是否相交，若为异面直线则计算最短距离
- **错误做法:** 推导平面方程后不检查计算结果
  - 原因: 计算$k$或整理方程时的微小算术错误会导致答案错误
  - 正确做法: 将三个原始点都代回最终平面方程进行验证

## 速查表

| 对象类型 | 向量形式 | 核心公式 |
| --- | --- | --- |
| 过$\mathbf{a}$且平行于$\mathbf{d}$的直线 | $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}$ | - |
| 过$\mathbf{a}$且以$\mathbf{n}$为法向量的平面 | $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}$ | - |
| 点$P$到平面的距离 | - | $\frac{\|\mathbf{p} \cdot \mathbf{n} - k\|}{\|\mathbf{n}\|}$ |
| 点$P$到直线的距离 | - | $\|\overrightarrow{AP} - (\overrightarrow{AP} \cdot \hat{\mathbf{d}})\hat{\mathbf{d}}\|$ |
| 两条直线的夹角 | - | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2\|}{\|\mathbf{d}_1\|\|\mathbf{d}_2\|}$ |
| 两个平面的夹角 | - | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\|}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|}$ |
| 直线与平面的夹角 | - | $\sin\theta = \frac{\|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}\|}{\|\mathbf{d}\|\|\mathbf{n}\|}$ |

## 下一步

三维向量是CIE A-Level进阶数学多个领域的基础主题，包括力学中的三维运动学、线性代数，以及进阶纯数2中的进阶向量几何。掌握此处的公式和方法对于求解卷1中频繁出现的大型几何问题至关重要，该部分约占FP1试卷分值的10-15%。你在本子主题中学到的向量技巧会在后续单元学习矩阵、线性变换和更高级的向量问题时得到拓展。

- [进阶纯数学 2](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-overview/)
- [双曲函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-hyperbolic-functions/)
- [进阶求导及其应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u2-further-differentiation-and-applications/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9231-u1-vectors/